Rozkładanie wzoru, szkicowanie wykresu funkcji

[Euvarios]

Witam, rozwiązywałem przed chwilą dosyć dziwne dla mnie zadanie z wartościami bezwzględnymi w funkcji. Musiałem tak rozłożyć sobie wzór, by później łatwo przenieść go na wykres. Podjąłem kilka prób, przy ostatniej wyszło mi coś w miarę sensownego. Chciałem się dowiedzieć czy nie robię czegoś głupiego i czy tą metodą mogę z powodzeniem rozwiązywać kolejne, podobne zadnia. Może jakieś rady na przyśpieszenie całego procesu? Z góry dziękuję za odpowiedzi.
\(f(x)=||x|-2| \\
|x|-2\ge0 \\
|x|\ge2 \\
|x|-2<0 \\
|x|<2 \\
f(x)= \begin{cases} |x|-2 \iff x \in (- \infty ;-2] \cup [2; \infty ) \\ -|x|+2 \iff x \in (-2;2) \end{cases} \\
f(x)= \begin{cases}x-2 \iff x \in ((- \infty ;-2] \cup [2; \infty )) \cap [0; \infty ) \So x \ge 2 \\ -x-2 \iff x \in ((- \infty ;-2] \cup [2; \infty )) \cap (- \infty ; 0 ) \So x \le -2 \\ -x+2 \iff x \in (-2;2) \cap [0; \infty ) \So 0 \le x<2 \\ x+2 \iff x \in (-2;2) \cap (- \infty ; 0) \So -2<x<0 \end{cases}\)

[eresh]

Witam, rozwiązywałem przed chwilą dosyć dziwne dla mnie zadanie z wartościami bezwzględnymi w funkcji. Musiałem tak rozłożyć sobie wzór, by później łatwo przenieść go na wykres. Podjąłem kilka prób, przy ostatniej wyszło mi coś w miarę sensownego. Chciałem się dowiedzieć czy nie robię czegoś głupiego i czy tą metodą mogę z powodzeniem rozwiązywać kolejne, podobne zadnia. Może jakieś rady na przyśpieszenie całego procesu? Z góry dziękuję za odpowiedzi.
\(f(x)=||x|-2| \\
|x|-2\ge0 \\
|x|\ge2 \\
|x|-2<0 \\
|x|<2 \\
f(x)= \begin{cases} |x|-2 \iff x \in (- \infty ;-2] \cup [2; \infty ) \\ -|x|+2 \iff x \in (-2;2) \end{cases} \\
f(x)= \begin{cases}x-2 \iff x \in ((- \infty ;-2] \cup [2; \infty )) \cap [0; \infty ) \So x \ge 2 \\ -x-2 \iff x \in ((- \infty ;-2] \cup [2; \infty )) \cap (- \infty ; 0 ) \So x \le -2 \\ -x+2 \iff x \in (-2;2) \cap [0; \infty ) \So 0 \le x<2 \\ x+2 \iff x \in (-2;2) \cap (- \infty ; 0) \So -2<x<0 \end{cases}\)

błędu nie widzę

szybciej można po kolei szkicować wykresy:
1. \(y=|x|\)
2. przesuwamy o wektor \(\vec{u}=[0,-2]\) i otrzymujemy \(y_2=|x|-2\)
3. rysujemy \(y_3=|y_2|\)

[Euvarios]

Ehh, faktycznie. Nie wiem czemu nie pomyślałem o tym na początku. Nie dość, że szybsze, to jeszcze mniejsza szansa na popełnienie błędu. No nic, dziękuję za oświecenie mnie.

[Euvarios]

@Edit Chciałem zapytać się o coś jeszcze. Wiem jak wygląda wykres |x|. |x| + 1 jest to ten sam wykres przesunięty o 1 w górę, natomiast |x+1| jest to ten sam wykres przesunięty o 1 w lewo. Co jednak w przypadku ||x|- 2|? W teorii powinien to być bazowy wykres przesunięty o 2 w dół, a następnie odbity przez oś OY. Tyle w teorii. Czemu jednak w odpowiedziach uznają go za przesunięty o 2 w prawo, zamiast w dół? Jak w takim razie zachowa się ||x+1|+1||? Przesunięty w lewo o 1 i w górę o 1 czy też w lewo o 2?

[eresh]

\(f(x)=||x|-2|\) można narysować też tak:
\(f_1(x)=x\\
\vec{u}=[2,0]\\
f_2(x)=x-2\\
f_3(x)=f_2(|x|)\\
f_3(x)=|x|-2\\
f_4(x)=|f_3(x)|\)
wtedy przesuwamy o 2 jednostki w prawo


\(f(x)=||x+1|+1|\\
f_1(x)=|x|\\
\vec{u}=[-1,1]\\
f_2(x)=|x+1|+1\\
f_3(x)=|f_2(x)|\)

[Euvarios]

Albo mi się wydaje, albo taki sposób może prowadzić do wielu nadużyć? Np.
\(f(x)=||x+1|+1|\)
1. Zaczynamy od bazowego
\(f1(x) = x\)
2. Przesuwamy o jeden w lewo
\(f2(x) = f1(x+1) = x+1\)
3. Odbijamy wartości dodatnie względem osi OY
\(f3(x) = f2(|x|) = |x|+1\)
4. Przesuwamy o jeden w lewo
\(f4(x) = f3(x+1) = |x+1|+1\)
5. Odbijamy ujemne wartości względem osi OX
\(f5(x)=|f4(x)| = ||x+1|+1|\)

W takim wypadku wyszły nam dwa różne wektory, gdzie u Ciebie został przesunięty 1 w lewo i 1 do góry a u mnie 2 w lewo. Tak chyba nie powinno być.

[eresh]

Albo mi się wydaje, albo taki sposób może prowadzić do wielu nadużyć? Np.
\(f(x)=||x+1|+1|\)
1. Zaczynamy od bazowego
\(f1(x) = x\)
2. Przesuwamy o jeden w lewo
\(f2(x) = f1(x+1) = x+1\)
3. Odbijamy wartości dodatnie względem osi OY
\(f3(x) = f2(|x|) = |x|+1\)
4. Przesuwamy o jeden w lewo
\(f4(x) = f3(x+1) = |x+1|+1\)
5. Odbijamy ujemne wartości względem osi OX
\(f5(x)=|f4(x)| = ||x+1|+1|\)

W takim wypadku wyszły nam dwa różne wykresy, gdzie u Ciebie został przesunięty 1 w lewo i 1 do góry a u mnie 2 w lewo. Tak chyba nie powinno być.

dostajemy taki sam wykres

[Euvarios]

Właśnie to zauważyłem. W każdym razie, wydaje mi się, że już lepiej rozumiem to zagadnienie. Bardzo dziękuję za pomoc.