Rozwiąż równanie trygomometryczne

[Pieras]

sin^4(x/3) + cos^4(x/3)= 5/8 w przedziale liczb rzeczywistych

[kerajs]

\((\sin^2 \frac{x}{3}+ \cos^2 \frac{x}{3})^2-2\sin^2 \frac{x}{3} \cos^2 \frac{x}{3}= \frac{5}{8}\\
(1)^2- \frac{1}{2} \sin^2 \frac{2x}{3} = \frac{5}{8}\\
\sin^2 \frac{2x}{3} = \frac{3}{4}\\
\sin \frac{2x}{3} = \frac{ \sqrt{3} }{2} \vee \sin \frac{2x}{3} = \frac{ -\sqrt{3} }{2}\\
\frac{2x}{3}= \frac{ \pi }{3} +k2 \pi \vee \frac{2x}{3}= \pi - \frac{ \pi }{3} +k2 \pi \vee \frac{2x}{3}= \frac{ -\pi }{3} +k2 \pi \vee \frac{2x}{3}= \pi + \frac{ \pi }{3} +k2 \pi \\
x=.......\)

[Pieras]

Wielkie dzięki za pomoc @kerajs!!!! Ale mam problem :/
Ja rozpisałem to równanie w taki sposób:

sin^4 (x/3) + [1-sin^2 (x/3)]*[1-sin^2 (x/3)] = 5/8
sin^4 (x/3) + 1-sin^2 (x/3) - sin^2 (x/3) + sin^4 (x/3) = 5/8
niech sin^2(x/3) = t
2t^2 - 2t + 3/8 = 0

Z czego wychodzą mi 4 rozwiązania:
sin(x/3)=(pierwiastek z 3)/2 lub sin(x/3)=-(pierwiastek z 3)/2 v sin lub sin(x/3)=1/2 lub sin(x/3)=-1/2 ==>
x=..................
Ale są to błędne rozwiązania, czy ktoś może mi wytłumaczyć co zrobiłem źle?

[eresh]

Wielkie dzięki za pomoc @kerajs!!!! Ale mam problem :/
Ja rozpisałem to równanie w taki sposób:

sin^4 (x/3) + [1-sin^2 (x/3)]*[1-sin^2 (x/3)] = 5/8

Ale są to błędne rozwiązania, czy ktoś może mi wytłumaczyć co zrobiłem źle?

to równanie nie jest równoważne wyjściowemu:
\(\sin^4(\frac{x}{3})+(1-\sin^2(\frac{x}{3})(1-\sin^2\frac{x}{3})\neq \sin^4\frac{x}{3}+\cos^4\frac{x}{3}\)

[Pieras]

@eresh jak to nie?
sin^4(x/3)+cos^4(x/3) = sin^4(x/3)+cos^2(x/3)*cos^2(x/3) = sin^4(x/3) + [1-sin^2(x/3)]*[1-sin^2(x/3)]

[eresh]

@eresh jak to nie?
sin^4(x/3)+cos^4(x/3) = sin^4(x/3)+cos^2(x/3)*cos^2(x/3) = sin^4(x/3) + [1-sin^2(x/3)]*[1-sin^2(x/3)]

okej, zgadza się
Po prostu zacznij używać LaTeX-a, to wszystkim ułatwi życie

[eresh]

Z czego wychodzą mi 4 rozwiązania:
sin(x/3)=(pierwiastek z 3)/2 lub sin(x/3)=-(pierwiastek z 3)/2 v sin lub sin(x/3)=1/2 lub sin(x/3)=-1/2 ==>
x=..................
Ale są to błędne rozwiązania, czy ktoś może mi wytłumaczyć co zrobiłem źle?

ciężko zweryfikować czy są błęde, bo ich nie podałeś

[Pieras]

@eresh LaTex nie jest dla mnie aż tak wygodny ale dla Ciebie wszystko
Podaję moje rozwiązania:
x=\(\frac{Π}{3}+6kΠ\)
lub
x=\(\frac{5Π}{3}+6kΠ\)
lub
x=\(Π+6kΠ\)
lub
x=\(2Π+6kΠ\)
lub
x=\(\frac{7Π}{3}+6kΠ\)
lub
x=\(\frac{11Π}{3}+6kΠ\)
lub
x=\(4Π+6kΠ\)
lub
x=\(5Π+6kΠ\)



Rozwiązania z odpowiedzi ze zbioru zadań, które pokrywają się z rozwiązaniami @kerajs:
x=\(\frac{Π}{2}+3kΠ\)
lub
x=\(Π+3kΠ\)
lub
x=\(- \frac{Π}{2} +3kΠ\)
lub
x=\(2Π+3kΠ\)

gdzie k oczywiście należy do zbioru liczb całkowitych

[kerajs]

Równanie z niewiadomą t dobrze jest rozwiązane.
Proponuję jeszcze raz zrobić końcówki:
1)
\(\sin \frac{x}{3}= \frac{ \sqrt{3} }{2}\\
\frac{x}{3}= \frac{ \pi }{3}+k2 \pi \vee \frac{x}{3}= \pi -\frac{ \pi }{3}+k2 \pi \\
x= \pi +6k \pi \vee x= 2\pi +6k \pi\)
2)
\(\sin \frac{x}{3}= \frac{ -\sqrt{3} }{2}\\
.......\)
3)
\(\sin \frac{x}{3}= \frac{ 1 }{2}\\
.......\)
4)
\(\sin \frac{x}{3}= \frac{ -1 }{2}\\
\frac{x}{3}= \frac{ -\pi }{6}+k2 \pi \vee \frac{x}{3}= \pi -\frac{ -\pi }{6}+k2 \pi \\
x= \frac{ -\pi }{2}+6k \pi \vee x= \frac{ 7\pi }{2}+6k \pi\)