Wyznacz zbiór wartości funkcji

[Einveru]

a) f(x) = -sin^2 x + 4sin x +12

b) f(x) = tg^3x - tg x

c) f(x) = \(\frac{1}{sin x}\)

d) f(x) = \(\frac{1}{cos^2 x - 2cos x - 8}\)

e) f(x) = \(\frac{7}{sin^2 x - sin x - 12}\)

[eresh]

a) f(x) = -sin^2 x + 4sin x +12

\(f(x)=-\sin ^2x+4\sin x+12\\
\sin x=t, t\in [-1,1]\\
f(t)=-t^2+2t+12\\
p=2\notin [-1,1]\\
f(1)=15\\
f(-1)=7\\
ZW_f=[7,15]\)

[eresh]

b) f(x) = tg^3x - tg x

\(\tg x=t\\
f(t)=t^3-t\)
zbiorem wartości funkcji \(f(t)\) jest zbiór liczb rzeczywistych, więc \(ZW_{f(x)}=\mathbb{R}\)

[eresh]

c) f(x) = \(\frac{1}{sin x}\)

\(ZW=(-\infty, -1]\cup [1,\infty)\)

d) f(x) = \(\frac{1}{cos^2 x - 2cos x - 8}\)

\(g(t)=t^2-2t-8, t\in [-1,1]\\
p=1\\
g(1)=-9\\
g(-1)=-5\\
ZW_g=[-9,-5]\\
ZW_f=[-\frac{1}{5},-\frac{1}{9}]\)

[eresh]

e) f(x) = \(\frac{7}{sin^2 x - sin x - 12}\)

\(g(t)=t^2-t-12, t\in [-1,1]\\\)
\(p=\frac{1}{2}\\
g(\frac{1}{2})=-\frac{49}{4}\\
g(1)=-12\\
g(-1)=-10\\
ZW_g=[-10,-\frac{49}{4}]\\
ZW_f=[\frac{7}{-10},\frac{7}{\frac{-49}{4}}]\\
ZW_f=[-\frac{7}{10},-\frac{4}{7}]\)

[Einveru]

Jeśli dla \(\frac{1}{sinx}
ZW = (-\( \infty\), -1] U [1, +\(\infty\))

to czemu dla \(\frac{7}{sin^2x - sinx -12}\) ZW nie jest to (- \(\infty, - \frac{7}{10}\)] U [-\(\frac{4}{7}\), + \(\infty\))

To też jest przecież na dole, więc cemu nie jest to takie "odwrócone" jak w przypadku tego z sinusem? Na jakiej zasadzie to działa?\)

[eresh]

Jeśli dla \(\frac{1}{sinx}
ZW = (-\( \infty\), -1] U [1, +\(\infty\))

to czemu dla \(\frac{7}{sin^2x - sinx -12}\) ZW nie jest to (- \(\infty, - \frac{7}{10}\)] U [-\(\frac{4}{7}\), + \(\infty\))

To też jest przecież na dole, więc cemu nie jest to takie "odwrócone" jak w przypadku tego z sinusem? Na jakiej zasadzie to działa?\)

\(


funkcja \(f(x)=\frac{1}{g(t)}\) jest malejąca w przedziale \([-10,-\frac{49}{4}],\) więc dla argumentu \(-10\) przyjmuje wartość największą, a dla \(-\frac{49}{4}\) - najmniejszą\)