Przedstaw sumę trzech sinusów w postaci iloczynu

[Einveru]

sin a + sin b + sin c

Wiemy, że
a + b + c = \(\pi\)

Poza samym rozwiązaniem, jak wgl patrzeć na to zadanie? Co mi daje fakt, że wiemy, że suma tych wszystkich kątów daje 180 stopni?

[eresh]

\(\alpha+\beta+\gamma=\pi\\
\gamma=\pi- (\alpha+\beta)\)

\(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=\sin\alpha+\sin\beta+\sin (\pi-(\alpha+\beta))=\\
=\sin\alpha+\sin\beta+\sin (\alpha+\beta)=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\sin (2\cdot\frac{\alpha+\beta}{2})=\\=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}=\\
=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}(\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\cos\frac{\alpha+\beta}{2})=\\
=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot 2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}=\\=4\sin\frac{\pi-\gamma}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}=4\cos\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\)

[Einveru]

Właściwie to już w tej przedostatniej linijce linijce wszystko jest mnożone, czemu więc należy jeszcze dalej to obliczać?

[eresh]

=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot 2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}=\\=4\sin\frac{\pi-\gamma}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}=4\cos\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}[/tex]

Właściwie to już w tej linijce wszystko jest mnożone, czemu więc należy jeszcze dalej to obliczać?

W sumie można tak zostawić

[Einveru]

wynik to
4 sin \(\frac{a}{2}\) sin\(\frac{b}{2}\) cos\(\frac{y}{2}\)

coś się nie zgadza?

[eresh]

wynik to
4 sin \(\frac{a}{2}\) sin\(\frac{b}{2}\) cos\(\frac{y}{2}\)

coś się nie zgadza?

widocznie jest błąd w odpowiedziach

[Einveru]

wynik to
4 sin \(\frac{a}{2}\) sin\(\frac{b}{2}\) cos\(\frac{y}{2}\)

coś się nie zgadza?

widocznie jest błąd w odpowiedziach

Ok ^^