forum.zadania.info

Witam,
mam pewne dylematy odnośnie tego zadania:
https://www.zadania.info/d60/1618068
Nie lubię robić zadań na pamięć i wydaje mi się, że tok rozumowania jest nieco nakierowany pod odpowiedź.

Przy takich zadaniach z reguły rozpatruje się dwie możłiwości \(\Delta = 0 \vee \Delta \neq 0\)

Z delty = 0 powinno wyjść, że \(a = b\) jednak nie wiem jak doprowadzić to z tego:
\(\Delta = b^2 - 4c = 0\)
\(b^2 = 4c\)

... i co dalej?

co więcej (!) jeżeli faktycznie \(b=c\) no to z tamtego równania mamy:
\(b^2-4b=0\)
\(b(b-4)=0\)
\(b=0=c \vee b=4=c \to\) \(b=4=c\) nie jest ujęte w odpowiedziach. Czy ktoś mógłby tak krok po kroku wyjaśnić dlaczego akurat obierać tą drogę w rozwiązaniu a nie inną, oraz dlaczego jednak \(c=b \neq 4\)

Pierwiastki równania kwadratowego to są miejsca zerowe funkcji kwadratowej
\(f(x)=x^2+bx+c\)
Warunkiem istnienia miejsc zerowych jest nieujemność wyróżnika \(\Delta\)
\(\Delta=b^2-4c\ge 0\)
Ten warunek trzeba sprawdzać dla otrzymanych wartości b i c.
\(\begin{cases} f(b)=0\\f(c)=0\end{cases}\)
\(\begin{cases} b^2+b^2+c=0\\c^2+bc+c=0\end{cases}\)
Rozwiązuję układ równań
\(\begin{cases} c=-2b^2\\(-2b^2)^2+b(-2b^2)-2b^2=0\end{cases}\\
4b^4-2b^3-2b^2=0\\
b^2(4b^2-2b-2)=0\\b=0\;\;\;\;lub\;\;\; \;4b^2-2b-2=0\)
Z wartości b liczę c
\(b=0\;\;\;\;\;i\;\;\;\;c=0\\wtedy \\\Delta=0\ge0\)
Drugie równanie
\(4b^2-2b-2=0\\\Delta_b=4+32=36=6^2\\b_1= \frac{2-6}{8}=- \frac{1}{2}\\wtedy\\c=-2\cdot ( \frac{1}{4}) \\
b_2= \frac{2+6}{8}=1\\wtedy\\c=-2\cdot 1^2=-2\)
W obu przypadkach delta jest dodatnia.