Zadanie z parametrem z funkcji trygonometrycznych

[GATSBY]

Witajcie!

Dla jakich wartości parametru k równanie \(sin^4x+cos^4x= \frac{2k+1}{k-1}\) ma rozwiązanie?
ma rozwiązanie?

Ma wyjść niby wynik\(k \subset \left\langle -2;-1 \right\rangle\) . Ale ja się pytam dlaczego?!

rozwiązując równanie dochodzę do postaci \(2 \sin ^4x - 2 \sin ^2 x +1\)
podstawiając zmienną pomocniczą wychodzi mi, że sin x = | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) |
zatem powinienem przecież prawą stronę równanie przyrównać do do \(\sqrt{2}/2 i -\sqrt{2}/2\)
robiąc to wychodzi mi, że dla k=\((5+3 \sqrt{2} )/7) i k= (3- /sqrt{2})/7\)to równanie ma rozwiązania.
Co robię źle?

[eresh]

Witajcie!

Dla jakich wartości parametru k równanie \(sin^4x+cos^4x= \frac{2k+1}{k-1}\) ma rozwiązanie?
ma rozwiązanie?

Ma wyjść niby wynik\(k \subset \left\langle -2;-1 \right\rangle\) . Ale ja się pytam dlaczego?!

rozwiązując równanie dochodzę do postaci \(2 \sin ^4x - 2 \sin ^2 x +1\)
podstawiając zmienną pomocniczą wychodzi mi, że sin x = | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) |

Co robię źle?

Do czego podstawiasz zmienną?

[Panko]

\(\sin ^2 x + \cos ^2 x=1\)
\(( \sin ^2 x + \cos ^2 x)^2=1\)
\(\sin ^4 x + \cos ^4 x=1 -2 \sin ^2x \cdot \cos ^2 x\)
\(\sin ^4 x + \cos ^4 x=1 -\frac{1}{2} \cdot \sin ^2 2x\)
oraz : \(\\) \(\frac {1}{2} \le 1 -\frac{1}{2} \sin ^2 2x \le 1\) wychodząc z \(\\) \(0 \le \sin ^2 2x
\le 1\) mnożąc obustronnie przez \(-\frac{1}{2}\) i dodając obustronnie \(1\)
stąd zbiór wartości wyrażenia \(\sin ^4 x + \cos ^4 x\) dla \(x \in R\) \(\\) to
\(\frac {1}{2} \le \sin ^4 x + \cos ^4 x \le 1\)
podstawiasz : \(\frac {1}{2} \le \frac{2k+1}{k-1} \le 1\) i dostajesz żadany przedział \(k \in [-2,-1]\)