równanie z parametrem

[inter]

Wyznacz parametr \(a \in R\) tak aby równanie \(log( x^2 + 2ax) − log( 8x − 6a − 3) = 0\) miało tylko jedno rozwiązanie.

[panb]

Tutaj cała trudność leży w dziedzinie zależnej od nieznanego parametru a.

Pomińmy na razie tę kwestię i, niczym się nie przejmując rozwiążmy równanie.
\(\log(x^2+2ax)-\log(8x-6a-3)=0 \iff x^2-2ax=8x-6a-3 \iff x^2-(2a+8)x+(6a+3)=0\)
Równanie wyjściowe będzie miało jedno rozwiązanie jeśli to ostatnie równanie będzie miało jedno rozwiązanie, czyli wtedy, gdy delta będzie równa 0.
\(\Delta=(2a-8)^2-4(6a+3)=4a^2-56a+52=0 \iff a=7 \pm 2\sqrt{13}\).

Podsumujmy. Jeśli \(a=7\pm 2\sqrt{13}\), to delta jest równa zero i nasze równanie ma jedno rozwiązanie \[x_0= \frac{-b}{2a}= \frac{2a+8}{2}=a+4\] Teraz bierzemy \(a=7-2\sqrt{13} \So x_0=11-2\sqrt{13}\) i sprawdzamy, czy \(x_0\in D\)
Potem bierzemy \(a=7+2\sqrt{13} \So x_0=11+2\sqrt{13}\) i sprawdzamy, czy \(x_0\in D\).

To nie jest trudne - monża na przybliżeniach bazować - myślę, że dasz radę.

Jeśli w którymś przypadku nie należy do dziedziny - odrzucamy takie a.

[inter]

Wg mnie jest żle, dlaczego zakładasz ze róawnie bedzie miało jedno rozwiązanie. Równanie kwadratowe przeciez może miec dwa pierwiastki.

[panb]

Jeśli delta jest zero, to jedno rozwiązanie - niczego nie zakładam tak piszą w tablicach!

Równanie wyjściowe będzie miało jedno rozwiązanie jeśli to ostatnie równanie będzie miało jedno rozwiązanie, czyli wtedy, gdy delta będzie równa 0

- czego tu nie rozumiesz?


Ale, jeżeli wiesz jak jest źle - to już jesteś blisko dowiedzenia się jak będzie dobrze.
Powodzenia!

[inter]

Może się mylę nie wiem i dlatego pytam
bo Ty liczysz pierwiastek \(x^2-(2a+8)x+(6a+3)=0\) i wg mnie one będą postaci \(x_1 = (4−a) − \sqrt{ (a−1)(a−13)}\) oraz
\(x_2 = (4−a)+ \sqrt{(a−1)(a−13)}\) ale dalej nie wiem jak ?

[radagast]

Równanie wyjściowe będzie miało jedno rozwiązanie jeśli to ostatnie równanie będzie miało jedno rozwiązanie, czyli wtedy, gdy delta będzie równa 0.

To nie jest prawda
Równanie wyjściowe będzie miało jedno rozwiązanie również wtedy gdy
\(\Delta>0\) ale jedno z istniejących rozwiązań należy odrzucić ze względu na dziedzinę równania wyjściowego.

[inter]

czyli teraz mam zdabadc trzy warunki
\((a-1)(a-13)>0\)
\(8x_1-6a-3>0\)
\(x_1^2+2ax_1>0\)

?