Funkcje wielomianowe

[sialalala]

Nie posiadam odpowiedzi do tych zadań.

1. Wielomian \(W(x)=x^3+mx^2+nx=4\) jest podzielny przez dwumian x-1, a reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian x+1 jest równa 8. Wyznacz wzór wielomianu W, a następnie rowziąż nieówność \(W(x) \ge x^2-x\).
2. Wielomian trzeciego stopnia f, którego fragment wykresu przedstawiono na rysunku, spełnia warunek f(0)=90. Wielomian g dany jest wzorem \(g(x)=x^3-14x^2+63x-90\). Wykaż, że \(g(x)=-f(-x)\) dla \(x \in R\).
Wykres:

4HHf3et.jpg (32.16 KiB) Przejrzano 2359 razy

3. Dany jest wielomian \(W(x)=(x-2)(x^2-2kx+1-k^2)\)
a) Dla k=1 rozwiąż nierówność \(W(x) \le 0\)
b) Znajdź zbiór wszystkich wartości parametru k, dla których dany wielomian ma więcej niż jeden pierwiastek.
c) Dany wielomian ma dwa pierwiastki ujemne, których suma kwadratów jest równa 2. Oblicz k.
4. Dla jakich wartości parametru p równanie \(x^4-(p+1)x^2+p^2-1=0\) ma dokładnie dwa różne pierwiastki.

[eresh]

Nie posiadam odpowiedzi do tych zadań.

1. Wielomian \(W(x)=x^3+mx^2+nx=4\) jest podzielny przez dwumian x-1, a reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian x+1 jest równa 8. Wyznacz wzór wielomianu W, a następnie rowziąż nieówność \(W(x) \ge x^2-x\).

\(\begin{cases}W(1)=0\\
W(-1)=8\end{cases}\\
\begin{cases}1+m+n+4=0\\
-1+m-n+4=8\end{cases}\\
\begin{cases}m+n=-5\\
m-n=5\end{cases}\\
\begin{cases}m=0\\
n=-5\end{cases}\\\)

\(W(x)=x^3-5x+4\\
x^3-5x+4\geq x^2-x\\
x^3-x^2-4x+4\geq 0\\
x^2(x-1)-4(x-1)\geq 0\\
(x-1)(x-2)(x+2)\geq 0\\
x\in [-2,1]\cup [2,\infty)\)

[eresh]

2. Wielomian trzeciego stopnia f, którego fragment wykresu przedstawiono na rysunku, spełnia warunek f(0)=90. Wielomian g dany jest wzorem \(g(x)=x^3-14x^2+63x-90. Wykraż, że g(x)=-f(-x) dla x \in R.\)
Wykres: http://i.imgur.com/4HHf3et.jpg

\(f(x)=a(x+6)(x+5)(x+3)\\
a\cdot 6\cdot 5\cdot 3=90\\
a=1\\
f(x)=(x+6)(x+5)(x+3)\\
-f(-x)=-(-x+6)(-x+5)(-x+3)=(x-6)(x-5)(x-3)=(x^2-11x+30)(x-3)=\\=x^3-3x^2-11x^2+33x+30x-90=x^3-14x^2+63x-90=g(x)\)

[eresh]

3. Dany jest wielomian \(W(x)=(x-2)(x^2-2kx+1-k^2)\)
a) Dla k=1 rozwiąż nierówność \(W(x) \le 0\)
b) Znajdź zbiór wszystkich wartości parametru k, dla których dany wielomian ma więcej niż jeden pierwiastek.
c) Dany wielomian ma dwa pierwiastki ujemne, których suma kwadratów jest równa 2. Oblicz k.

a)
\(W(x)=(x-2)(x^2-2x)\\
(x-2)(x^2-2x)\leq 0\\
x(x-2)(x-2)\leq 0\\
x(x-2)^2\leq 0\\
x\in (-\infty, 0]\cup \{2\}\)

b)
\(x^2-2kx+1-k^2=0\) musi mieć co najmniej jedno rozwiązanie, różne od 2

\(\Delta\geq 0\\
4k^2-4(1-k^2)\geq 0\\
k^2-1+k^2\geq 0\\
2k^2-1\geq 0\\
2(k-\frac{\sqrt{2}}{2})(k+\frac{\sqrt{2}}{2})\geq 0\\
k\in (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{2}}{2},\infty)\)

sprawdźmy co się dzieje, gdy równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie (czyli gdy \(k=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\))

\(x^2-\sqrt{2}x+1-\frac{1}{2}=0\;\;\;x^2-\sqrt{2}x-1-\frac{1}{2}=0\\
(x-\frac{\sqrt{2}}{2})^2=0\;\;\;(x+\frac{\sqrt{2}}{2})^2=0\\
x=\frac{\sqrt{2}}{2}\neq 2\;\;\;x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\neq 2\)

ostatecznie:
\(k\in (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{2}}{2},\infty)\)


c)
\(x_1<0\\
x_2<0\\
x_1^2+x_2^2=2\)

1.
\(\Delta >0\iff k\in (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2})\cup (\frac{\sqrt{2}}{2},\infty)\)

2.
\(x_1+x_2<0\\
2k<0\\
k<0\)

3.
\(x_1x_2>0\\
1-k^2>0\\
k\in (-1,1)\)

4.
\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-2k)^2-2(1-k^2)=2\\
4k^2-2+2k^2=2\\
6k^2-4=0\\
k=\frac{\sqrt{6}}{3}
k=-\frac{\sqrt{6}}{3}\)

jedyną liczbą spełniająca wszystkie 4 warunki jest \(k=-\frac{\sqrt{6}}{3}\)

[eresh]

4. Dla jakich wartości parametru p równanie \(x^4-(p+1)x^2+p^2-1=0\) ma dokładnie dwa różne pierwiastki.

\(x^4-(p+1)x^2+p^2-1=0\\
t=x^2\\
t^2-(p+1)t+p^2-1=0\)

Aby równanie wyjściowe miało dwa różne rozwiązanie, równanie kwadratowe musi mieć jeden pierwiastek dodatni

\(\Delta\geq 0\\
(p+1)^2-4(p^2-1)\geq 0\\
(p+1)^2-4(p-1)(p+1)\geq 0\\
(p+1)(p+1-4p+4)\geq 0\\
(p+1)(-3p+5)\geq 0\\
p\in [-1,\frac{5}{3}]\)

gdy \(p=-1\):
\(t^2=0\\
t=0\)
sprzeczność, bo pierwiastek miał być dodatni

dla \(p=\frac{5}{3}\)
\(t^2-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=0\\
t=\frac{4}{3}\)
pasuje

jeśli równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, bo jeden z nich musi być dodatni, drugi ujemny
\(x_1\cdot x_2<0\\
p^2-1<0\\
p\in (-1,1)\;\; \wedge p\in (-1,\frac{5}{3})\;\;\\
p\in (-1,1)\)

odp.:
\(x\in (-1,1)\cup \{\frac{5}{3}\}\)

[sialalala]

Dziękuje za odpowiedź.