granice

[mochel]

Oblicz granice:
\(w) \Lim_{x\to \infty } (1+ \frac{7}{n} )^n\)
\(v) \Lim_{x\to \infty } ( \frac{n^3+6}{n^3})^{n^3}\)
\(z) \Lim_{x\to \infty } (1- \frac{4}{n} )^{n+2}\)
\(ź) \Lim_{x\to \infty } ( \frac{n}{n-6})^{2n}\)
\(ż) \Lim_{x\to \infty } ( \frac{2n+1}{2n-1} )^n\)

[kerajs]

Wszystkie granice liczy się tak samo.
ż)
\(= \left[1 \right] ^{ \infty } = \Lim_{n\to \infty }(1+ \frac{2}{2n-1})^{n}= \Lim_{n\to \infty }(1+ \frac{1}{ \frac{2n-1}{2} })^{n \cdot \frac{\frac{2n-1}{2}}{\frac{2n-1}{2}} }=\)
\(= \Lim_{n\to \infty } \left[ (1+ \frac{1}{ \frac{2n-1}{2} })^{\frac{2n-1}{2} } \right] ^{ \frac{n}{\frac{2n-1}{2}} }=\Lim_{n\to \infty } \left[ (1+ \frac{1}{ \frac{2n-1}{2} })^{\frac{2n-1}{2} }\right] ^{ \frac{2}{2-\frac{1}{n}} }=e^1=e\)

Pozostałe wyniki:
\(w) \Lim_{x\to \infty } (1+ \frac{7}{n} )^n=e^7\)
\(v) \Lim_{x\to \infty } ( \frac{n^3+6}{n^3})^{n^3}=e^6\)
\(z) \Lim_{x\to \infty } (1- \frac{4}{n} )^{n+2}= \frac{1}{e^4}\)
\(ź) \Lim_{x\to \infty } ( \frac{n}{n-6})^{2n}=e^{12}\)

[eresh]

Oblicz granice:
\(w) \Lim_{x\to \infty } (1+ \frac{7}{n} )^n\)

\(\Lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{7}{n} \right) ^n=e^7\)

[eresh]

Oblicz granice:

\(v) \Lim_{x\to \infty } ( \frac{n^3+6}{n^3})^{n^3}\)

\(\Lim_{n\to\infty}(1+\frac{6}{n^3})^{n^3}=e^6\)

[eresh]

Oblicz granice:

\(z) \Lim_{x\to \infty } (1- \frac{4}{n} )^{n+2}\)

\(\Lim_{n\to\infty}[(1-\frac{4}{n})^n\cdot (1-\frac{4}{n})^2]=\Lim_{n\to\infty}[(1+\frac{-4}{n})^n\cdot (1-\frac{4}{n})^2]=e^{-4}\cdot 1=e^{-4}\)

[eresh]

Oblicz granice:

\(ź) \Lim_{x\to \infty } ( \frac{n}{n-6})^{2n}\)

\(\Lim_{n\to\infty}(\frac{n-6+6}{n-6})^{2n}=\Lim_{n\to\infty}(1+\frac{6}{n-6})^{2n}=\Lim_{n\to\infty}(1+\frac{6}{n-6})^{(n-6)\cdot \frac{2n}{n-6}}=(e^6)^2=e^{12}\)

[mochel]

Oblicz granice:

\(z) \Lim_{x\to \infty } (1- \frac{4}{n} )^{n+2}\)

\(...=e^{-4}\cdot 1=e^{-4}\)

jedno pytanko, skąd wzięło się to 1?

[radagast]

\(\left( 1- \frac{4}{n}\right)^n\to e^{-4}\)
\(\left( 1- \frac{4}{n}\right)^2\to1\)

\(\left( 1- \frac{4}{n}\right)^{n+2}=\left( 1- \frac{4}{n}\right)^{n} \cdot \left( 1- \frac{4}{n}\right)^{2}\)

[mochel]

\(\left( 1- \frac{4}{n}\right)^2\to1\)

no właśnie nie rozumiem jak to możliwe, że to równa się 1

[radagast]

\((1-0)^2=1\) co w tym dziwnego ?

[mochel]

\((1-0)^2=1\) co w tym dziwnego ?

no tak faktycznie, myślałam innym schematem, bo ten przykład różni się od innych