optymalizacja ze styczną?

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
jakubowiczish
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 30
Rejestracja: 02 lut 2017, 12:37
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 5 razy
Płeć:

optymalizacja ze styczną?

Post autor: jakubowiczish »

Znajdz równania takich dwóch równoległych stycznych do wykresu funkcji \(\frac{-x}{x+1}\) aby odległość między nimi była największa.
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

\(y= \frac{-x}{x+1},\,\,\, \text{ dla } x\neq-1 \So y'=- \frac{1}{(x+1)^2},\,\,\, \text{ dla } x\neq-1\)
Ponieważ \((x+1)^2=(-x-1)^2=(-2-x+1)^2\), więc styczne do wykresu funkcji z zadania
w punktach \(x=x_0\) oraz \(x=-2-x_0\) są równoległe.

Równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie \(\left(x_0,y_0 \right),\,\,x_0\neq-1,\,\,\, y_0= \frac{-x_0}{x_0+1}\) ma postać
\(y+ \frac{x_0}{x_0+1}=- \frac{1}{(x_0+1)^2}(x-x_0) \iff x+(x_0+1)^2y+x_0(x_0+1)-x_0=0\)
Równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie \((x_0,y_0)\) ma więc postać \[x+(x_0+1)^2y+x^2_0=0\] Równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie \((-2-x_0,y_1),\,\,x_0\neq-1,\,\,\, y_1= \frac{2+x_0}{-x_0-1}\) ma postać
\(y+ \frac{2+x_0}{x_0+1}=- \frac{1}{(x_0+1)^2}(x+2+x_0) \iff x+(x_0+1)^2y+(2+x_0)(x_0+1)+2+x_0=0\)
Równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie \((-2-x_0,y_1)\) ma więc postać \[x+(x_0+1)^2y+(x_0+2)^2=0\] Aby znaleźć odległość tych prostych wybierzemy punkt na pierwszej z nich i znajdziemy jego odległość od drugiej prostej.
Wybierzmy na prostej \(x+(x_0+1)^2y+x^2_0=0\) punkt \(\left( 0, \frac{-x^2_0}{(x_0+1)^2} \right)\).
Jego odległość od prostej \(x+(x_0+1)^2y+(x_0+2)^2=0\) opisana jest wzorem
\(d= \frac{|0-x^2_0+(x_0+2)^2|}{ \sqrt{1+(x_0+1)^4} }= \frac{4|x_0+1|}{\sqrt{1+(x_0+1)^4}}\)

Szukanie punktu, w którym ta odległość będzie największa oznacza konieczność znalezienia maksimum funkcji \[d(x)= \frac{4|x+1|}{ \sqrt{1+(x+1)^4} }, \,\,\, x\neq-1\] To już na pewno dasz rade zrobić.
Ja znalazłem \(x_{max}=0\). Wtedy szukane styczne mają równania
  • Odp.: \(x+y+4=0\) oraz \(x+y=0\)
Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2946
Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1556 razy
Płeć:

Re: optymalizacja ze styczną?

Post autor: Panko »

Można zrobić tak.
Środek symetrii hiperboli to \(S=(-1,-1)\)
Jeżeli hiperbola ma styczną w punkcie : \((x_0,y_0)\) to ta druga styczna jest w punkcie : \(( -2-x_0,-2-y_0)\)
Co łatwo sprawdzić bo \(f'(x_0)=-\frac{1}{(x_0+1)^2}\) , \(f'(-2-x_0)= f'(x_0)\) .
Wtedy prosta styczna do hiperboli w \(( x_0,y_0)\) to \(x+ y(x_0+1)^2+x_0^2=0\)
Analogicznie druga doń styczna równoległa to \(x+ y(x_0+1)^2+(-2-x_0)^2=0\)
Wtedy odległość pomiędzy tymi stycznymi to \(d(x_0)= \frac{| (-2-x_0)^2-x_0^2 |}{ \sqrt{ (x_0+1)^4+1} }= \frac{| 4(1+x_0)|}{ \sqrt{ (x_0+1)^4+1} }\)
Zauważamy ,że \(d(x_0) \le \frac{4}{ \sqrt{2} }\) , co łatwo pokazać przez sprowadzenie do nierówności \(0 \le( (
x_0+1)^2-1)^2\)

Maksymalizacja daje parę \(x_0=0, x_0=-2\) , co daje parę stycznych \(y=-x, y=-x-4\)
jakubowiczish
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 30
Rejestracja: 02 lut 2017, 12:37
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 5 razy
Płeć:

Post autor: jakubowiczish »

Dziękuję Wam bardzo. Myślicie, że to zadanie mogłoby być maturalne?
jakubowiczish
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 30
Rejestracja: 02 lut 2017, 12:37
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 5 razy
Płeć:

Post autor: jakubowiczish »

Czy szanowni moderatorzy mogliby mi powiedzieć czemu część mojego ostatniego posta została usunięta?
ODPOWIEDZ