pomoże ktoś obliczyć?
obliczyć pole ograniczone linią r=asin2θ, gdzie a>0 , a argument θ przebiega przedział \(0 \le θ \le 2 \pi\)
całki-pole ograniczone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Powierzchnia P figury ograniczonej równaniem biegunowym \(r=r(\theta),\,\,\, \theta_1\le\theta\le\theta_2\) dana jest wzorem \[P= \int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{1}{2}r^2d\theta\]
Wykres wygląda tak:
Trzeba policzyć pole jednego listka i pomnożyć przez 4.
Dla pojedynczego listka \(0\le\theta\le\pi/2 , \,\,\, \text{ więc }P=4 \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{2}r^2d\theta\), gdzie \(r=a\sin(2\theta)\)
Ponieważ \(\cos4\theta=1-2\sin^2(2\theta)\), więc \(\sin^2(2\theta)= \frac{1-\cos(4\theta)}{2}\) i obliczenie całki (czyli szukanego pola) nie będzie dużym problemem \(P=2a^2 \int_{0}^{\pi/2}\sin^2(2\theta)d\theta\)
O ile się nie mylę, to szukana powierzchnia jest równa \(\frac{\pi a^2}{2}\)
- graph.png (15.7 KiB) Przejrzano 1368 razy
Dla pojedynczego listka \(0\le\theta\le\pi/2 , \,\,\, \text{ więc }P=4 \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{2}r^2d\theta\), gdzie \(r=a\sin(2\theta)\)
Ponieważ \(\cos4\theta=1-2\sin^2(2\theta)\), więc \(\sin^2(2\theta)= \frac{1-\cos(4\theta)}{2}\) i obliczenie całki (czyli szukanego pola) nie będzie dużym problemem \(P=2a^2 \int_{0}^{\pi/2}\sin^2(2\theta)d\theta\)
O ile się nie mylę, to szukana powierzchnia jest równa \(\frac{\pi a^2}{2}\)