Równanie logarytmiczne z parametrem

[Cassandra19x]

Dla jakich wartości m równanie:
\(\log _{x-2} (16-x) = m^{2} -4\) ma rozwiązanie ?

[korki_fizyka]

\(x-2 > 0\) i \(x-2 \neq 1\) i \(16 - x > 0\) i jazda

[Cassandra19x]

Od tego zaczęłam, jednak nie mam pojęcia, co zrobić dalej

[korki_fizyka]

Wyznacz zbiór wartości funkcji.

[Cassandra19x]

Nie bardzo wiem jak się do tego zabrać w tym przypadku.

[korki_fizyka]

Spójrz na wykres funkcji logarytmicznej.

[Cassandra19x]

Nie bardzo wiem jak w tym przypadku będzie wyglądał. Trochę mi x-1 w podstawie logarytmu przeszkadza w narysowaniu wykresu.

[korki_fizyka]

http://matematyka.pisz.pl/strona/219.html

[Cassandra19x]

Tak sie sklada, ze wykres tej funkcji ma niewiele wspolnego z wykresem funkcji logarytmicznej, gdzie podstawa jest stala

[Panko]

Jak chcesz obejrzeć wykres \(f(x)= \log _{x-2} {(16-x)}\) to wejdź do https://www.wolframalpha.com/ i wpisz
Plot log [x-2,16-x]
pamietaj ,że \(x \in (2,3) \cup (3,16)\).

[korki_fizyka]

Tak sie sklada, ze wykres tej funkcji ma niewiele wspolnego z wykresem funkcji logarytmicznej, gdzie podstawa jest stala

otóż ma bo masz się zajmować zbiorem wartości funkcji logarytmicznej

[Cassandra19x]

Czyli wygląda na to, że zbiór wartości zawiera się w liczbach rzeczywistych, więc parametr m również.
Problem będzie jak na podobne zadanie trafię gdzieś na maturce czy innym konkursie i wtedy nie będę mogła podejrzeć sobie wykresu w internecie

[kerajs]

Rozwiązanie bez programu graficznego:

\(\log_{x-2}(16-x)=m^2-4\\
D:\\
x \in (2,3) \cup (3,16)\\
\frac{\log(16-x)}{\log(x-2)}=m^2-4\)
Aby sprawdzić zbiór wartości lewej strony równania należy policzyć granice:
\(\Lim_{x\to 2^+} \frac{\log(16-x)}{\log(x-2)}= \frac{\log14}{- \infty }=0 \\
\Lim_{x\to 3^-} \frac{\log(16-x)}{\log(x-2)}= \frac{\log13}{- 0 }=- \infty \\
\Lim_{x\to 3^+} \frac{\log(16-x)}{\log(x-2)}= \frac{\log13}{+0 }= \infty \\
\Lim_{x\to 16^-} \frac{\log(16-x)}{\log(x-2)}= \frac{- \infty }{\log14 }=- \infty\)
Sprawdzenie monotoniczności lewej strony wykracza poza zakres szkoły średniej, jednak przy uzyskanych granicach nie potrzebujesz jej sprawdzać. Lewa strona w każdym innym punkcie podanej dziedziny (prócz miejsc liczonych granicami) jest ciągła, więc choćby z dwóch ostatnich granic wnioskujesz że zbiorem wartości jest cały zbiór liczb rzeczywistych, a stąd wniosek że dla dowolnej wartości parametru \(m\) podane równanie ma rozwiązanie.