matura rozszerzona (tg kątów są liczbami naturalnymi)

[Mi82]

Witajcie, szukam pomocy w rozwiązaniu tego zadania:

Oblicz \(tg \alpha +tg \beta +tg \gamma\) wiedząc, że \(\alpha , \beta , \gamma\) są kątami w trójkącie oraz \(tg \alpha ,tg \beta ,tg \gamma\) są liczbami naturalnymi.

Próbowałam zrobić to zadanie stosując twierdzenie sinusów i cosinusów aby potem wyrazić tg jako sin/cos ale nie wychodzi mi wspólny mianownik i nie wiem jak to zrobić.

[sebnorth]

oznaczmy te tangensy odpowiednio przez \(a,b,c\)

ze wzoru na tangens sumy kątów \(c = \frac{a+b}{ab-1}\)

prawa strona jest symetryczna względem a i b, załóżmy więc, że \(b \leq a\)

1) \(b=1\), wtedy \(c = \frac{a+1}{a-1}\)

wówczas

dla \(a=2,c=3\)

dla \(a=3,c=2\)

dla \(a\ge 4\) wartość c nie będzie liczbą całkowitą

2) \(b=2\), wtedy \(c = \frac{a+2}{2a-1}\)

wówczas

dla \(a=2\),c nie będzie liczbą całkowitą

dla \(a=3,c=1\)

dla \(a\ge 4\) c nie będzie liczbą całkowitą

3) \(a\geq b\geq 3\)

\(a+b \leq 2a \leq a(b-1)\)

\(ab-1>ab-a=a(b-1)\)

czyli \(c< \frac{a(b-1)}{a(b-1)} = 1\) i znowu c nie będzie liczbą całkowitą

[Mi82]

oznaczmy te tangensy odpowiednio przez \(a,b,c\)

ze wzoru na tangens sumy kątów \(c = \frac{a+b}{ab-1}\)

Dlaczego zakładamy że c=a+b ?
Wzór który ja znam jako tg sumy kątów to: \(tg( \alpha + \beta )= \frac{tg \alpha +tg \beta }{1-tg \alpha \cdot tg \beta }\)

[sebnorth]

jeśteśmy w trójkącie \(x+y+z= \pi\)

\(z = \pi - (x+y)\)

\(\tg z = -\tg(x+y) = - \frac{\tg x + \tg y}{1 - \tg x \cdot \tg y} = \frac{\tg x + \tg y}{\tg x \cdot \tg y - 1}\)

[Mi82]

Aaaa już rozumiem
Muszę jeszcze na spokojnie przeanalizować sobie całe rozwiązanie.
Bardzo dziękuję ! Gdybym jeszcze gdzieś ugrzęzła to pozwolę sobie jeszcze podpytać.