Pochodna funkcji

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
gadka12a
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 6
Rejestracja: 21 sty 2017, 21:01
Podziękowania: 2 razy
Płeć:

Pochodna funkcji

Post autor: gadka12a »

Uzasadnij, że równanie \(x(x^2+12)=6(x^2+1)\) ma dokładnie jedno rozwiązanie .

Proszę o pomoc w uzasadnieniu tego zadaniami.
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

Wymyśliłam tak:
\(x(x^2+12)=6(x^2+1) \iff x(x^2+12)=6(x^2+12)-66 \iff (x-6)(x^2+12)=-66 \iff \\
x^2+12= \frac{66}{6-x}\)

lewa strona to parabola, prawa to hiperbola i one się przecinają w jednym punkcie. Może być ?
Awatar użytkownika
Matematyk_64
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 549
Rejestracja: 09 lut 2012, 14:18
Lokalizacja: Legnica
Otrzymane podziękowania: 161 razy
Płeć:
Kontakt:

Post autor: Matematyk_64 »

Pytający może mieć jeszcze problem z uzasadnieniem, dlaczego akurat ta parabola przecina tą hiperbole w jednym punkcie.
Proponuję jednak na poziomie analizy pochodnej.
Po przeniesieniu wszystkiego na lewo. Mamy równanie w postaci ogólnej
\(x^3-6x^2+12x-6 = 0\)
Badając przebieg zmienności lewej strony dostajemy łatwo, że nie ma ona ekstremów lokalnych
\(L'(x)=(x^3-6x^2+12x-6)' = 3(x^2-4x+4)= 3(x-2)^2\)
Pochodna ma tylko jedno miejsce zerowe dla \(x=2\) i nie zmienia w nim znaku - stąd mamy tu na wykresie \(L(x)\) "kolanko" - punkt przegięcia.
Taki wykres \(L(x)\) - wielomian 3 stopnia - przetnie oś OX tylko w jednym miejscu będąc jednocześnie dla tego (punktu przecięcia) x pierwiastkiem lewej strony równania.

Miłej niedzieli :)
Wrzutnia matematyczna: http://www.centrum-matematyki.pl/edukac ... tematyczna
gg: 85584
skype: pi_caria
gadka12a
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 6
Rejestracja: 21 sty 2017, 21:01
Podziękowania: 2 razy
Płeć:

Re: Pochodna funkcji

Post autor: gadka12a »

Dziękuję za pomoc .
ODPOWIEDZ