Uzasadnij, że równanie \(x(x^2+12)=6(x^2+1)\) ma dokładnie jedno rozwiązanie .
Proszę o pomoc w uzasadnieniu tego zadaniami.
Pochodna funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Matematyk_64
- Stały bywalec
- Posty: 549
- Rejestracja: 09 lut 2012, 14:18
- Lokalizacja: Legnica
- Otrzymane podziękowania: 161 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Pytający może mieć jeszcze problem z uzasadnieniem, dlaczego akurat ta parabola przecina tą hiperbole w jednym punkcie.
Proponuję jednak na poziomie analizy pochodnej.
Po przeniesieniu wszystkiego na lewo. Mamy równanie w postaci ogólnej
\(x^3-6x^2+12x-6 = 0\)
Badając przebieg zmienności lewej strony dostajemy łatwo, że nie ma ona ekstremów lokalnych
\(L'(x)=(x^3-6x^2+12x-6)' = 3(x^2-4x+4)= 3(x-2)^2\)
Pochodna ma tylko jedno miejsce zerowe dla \(x=2\) i nie zmienia w nim znaku - stąd mamy tu na wykresie \(L(x)\) "kolanko" - punkt przegięcia.
Taki wykres \(L(x)\) - wielomian 3 stopnia - przetnie oś OX tylko w jednym miejscu będąc jednocześnie dla tego (punktu przecięcia) x pierwiastkiem lewej strony równania.
Miłej niedzieli
Proponuję jednak na poziomie analizy pochodnej.
Po przeniesieniu wszystkiego na lewo. Mamy równanie w postaci ogólnej
\(x^3-6x^2+12x-6 = 0\)
Badając przebieg zmienności lewej strony dostajemy łatwo, że nie ma ona ekstremów lokalnych
\(L'(x)=(x^3-6x^2+12x-6)' = 3(x^2-4x+4)= 3(x-2)^2\)
Pochodna ma tylko jedno miejsce zerowe dla \(x=2\) i nie zmienia w nim znaku - stąd mamy tu na wykresie \(L(x)\) "kolanko" - punkt przegięcia.
Taki wykres \(L(x)\) - wielomian 3 stopnia - przetnie oś OX tylko w jednym miejscu będąc jednocześnie dla tego (punktu przecięcia) x pierwiastkiem lewej strony równania.
Miłej niedzieli
Wrzutnia matematyczna: http://www.centrum-matematyki.pl/edukac ... tematyczna
gg: 85584
skype: pi_caria
gg: 85584
skype: pi_caria