funckja wymierna

[Krystek97]

Witam,mam problem z zadaniem,wiem że można znaleźć rozwiązania tego zadania na innych stronach,ale ja ich nie rozumiem,mógłby ktoś wytłuamczyć i rozpisać jak należy poprawnie to rozwiązać
Sporządź wykres funkcji g: m→G(m), gdzie G(m) jest liczbą dodatnich pierwiastków równania
\(mx= \frac{2x-2m-3}{x-3}\)
w zależności od wartości parametru m.
Z góry dzięki za pomoc

[panb]

Nic dziwnego, bo to trudne zadanie - dużo wariantów i można się pogubić.
Dla \(x \neq 3\) równanie można zapisać w postaci: \(mx(x-3)=2x-2m-3 \iff mx^2-3mx-2x+2m+3=0\)

• Dla m=0, otrzymujemy równanie liniowe \(-2x+3=0 \iff x=1,5\).
  Wobec tego, dla \(m=0\) równanie z zadania ma jedno rozwiązanie, czyli \(G(0)=1\)

• Jeśli \(m \neq 0\), to mamy do czynienia z równaniem kwadratowym \(mx^2-(3m+2)x+(2m+3)=0\).
  Ponieważ \(\Delta =9m^2+12m+4-4m(2m+3)=m^2+4>0\), więc równanie to ma zawsze dwa rozwiązania.
  Interesują nas znaki tych rozwiązań (ile ujemnych, ile dodatnich), ponieważ funkcja \(G\) liczy ile jest rozwiązań dodatnich. O znakach pierwiastków równania kwadratowego możemy dowiedzieć się z wzorów Viete'a.
  \[x_1+x_2=- \frac{b}{a}= \frac{3m+2}{m},\quad x_1 \cdot x_2= \frac{c}{a}= \frac{2m+3}{m}\]
  • \(x_1+x_2>0 \iff \frac{3m+2}{m}>0 \iff m(3m+2)>0 \wedge m \neq 0 \iff m\in(- \infty ;- \frac{2}{3}) \cup (0;+ \infty )\\
    x_1 \cdot x_2>0 \iff \frac{2m+3}{m}>0 \iff m \neq 0 \wedge m(2m+3)>0 \iff m\in(- \infty ;- \frac{3}{2}) \cup (0;+ \infty )\)

1. Jeśli \(x_1 \cdot x_2>0 \wedge x_1+x_2>0 \iff m\in (- \infty ;- \frac{3}{2}) \cup (0;+ \infty )\), to równanie ma dwa rozwiązania dodatnie,
2. przypadek \(x_1 \cdot x_2>0 \wedge x_1+x_2<0\) nie zachodzi - równanie nie miałoby wtedy rozwiązań dodatnich,
3. jeśli \(x_1 \cdot x_2<0\), to równanie ma rozwiązania roznych znaków, więc jedno jest dodatnie.
4. dla m=0 jest jedno rozwiązanie i jest ono dodatnie, jak sprawdziliśmy wyżej,
5. dla \(m= -\frac{3}{2},\,\,\, x_1 \cdot x_2=0\), czyli jedno z rozwiązań jest równe zero, czyli jest wtedy tylko jedno rozwiązanie dodatnie.

Pozostaje jeszcze wykluczyć przypadek, gdy rozwiązaniem równania \(mx(x-3)=2x-2m-3\) jest liczba x=3.
\(3m(3-3)=6-2m-3 \iff 3-2m=0 \iff m= \frac{3}{2}\)
Dla \(m=1,5\) jednym z rozwiązań równania kwadratowego jest liczba zabroniona.
Wstawiając m=1,5 do wyjściowego równania, dostajemy

\(1,5x= \frac{2x-6}{x-3} \So x= \frac{4}{3}\) - czyli w tym przypadku jest tylko jedno rozwiązanie.

Nareszcie, podsumowanie:
\(G(m)= \begin{cases}
1 & \text{ dla }& m\in [- \frac{3}{2};0] \cup \left\{ \frac{3}{2}\right\} \\
2& \text{dla}&m\in (- \infty ;- \frac{3}{2}) \cup (0; \frac{3}{2}) \cup ( \frac{3}{2};+ \infty ) \end{cases}\)

[WzWx]

Czy mógłbym prosić o wytłumaczenie punktu e? Od dłuższej chwili zastanawiam się skąd się wziął x=-3/2.

[panb]

Miało być m=-3/2. Już poprawiłem.