równanie trygonometryczne

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
dariass12
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 192
Rejestracja: 02 wrz 2014, 22:18
Podziękowania: 107 razy
Płeć:

równanie trygonometryczne

Post autor: dariass12 »

liczba xo jest najwiekszym rozwiązaniem równania \(\cos 2x-\cos(2x+ \frac{\pi}{2})=1\) należącym do przedziału \((0,2 \pi )\)
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: równanie trygonometryczne

Post autor: eresh »

\(\cos 2x-\cos (2x+\frac{\pi}{2})=1\\
-2\sin\frac{2x+2x+\frac{\pi}{2}}{2}\sin\frac{2x-2x-\frac{\pi}{2}}{2}=1\\
\sin(2x+\frac{\pi}{4})\sin (-\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{2}\\
\sin (2x+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\\
2x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2k\pi\;\;\;\vee\;\;\;2x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\\
2x=2k\pi\;\;\;\vee\;\;\;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\\
x=k\pi\;\;\;\vee\;\;\;x=\frac{\pi}{4}+k\pi\\
x_0=\frac{5\pi}{4}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Artegor
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 594
Rejestracja: 09 lis 2015, 18:25
Podziękowania: 364 razy
Płeć:

Post autor: Artegor »

Odgrzebuję troszeczkę temat, skąd to przejście z 1 do drugiej linijki?
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Post autor: Galen »

Wzór na różnicę cosinusów:
\(cos\alpha-cos\beta=-2sin( \frac{\alpha+\beta}{2}) \cdot sin( \frac{\alpha-\beta}{2} )\)
Zamienia różnicę na iloczyn,a to ułatwia obliczenie miejsc zerowych.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
Artegor
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 594
Rejestracja: 09 lis 2015, 18:25
Podziękowania: 364 razy
Płeć:

Post autor: Artegor »

a traktujemy 2x jako podwojony kąt? A nawet jeśli to można zastosować róźnice funkcji trygonometrycznych dla podwojonego kąta?
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Post autor: Galen »

\(2x=\alpha\\2x+ \frac{\pi}{2}=\beta\)
Nie ma po co rozważać podwojonego kata,bo tu x traktuje się jak liczbę rzeczywistą...
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
pozdrawiam
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 9
Rejestracja: 12 kwie 2019, 20:45

Post autor: pozdrawiam »

hej, mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego największym rozwiązaniem jest 5 \pi /2 , a nie 4 \pi /2 ? Próbuję to rozkminić już od jakiegoś czasu i mi nie wychodzi :oops:
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re:

Post autor: eresh »

pozdrawiam pisze:hej, mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego największym rozwiązaniem jest 5 \pi /2 , a nie 4 \pi /2 ? Próbuję to rozkminić już od jakiegoś czasu i mi nie wychodzi :oops:
bo \(\frac{4\pi}{2}=2\pi\) nie należy do przedziału
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
pozdrawiam
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 9
Rejestracja: 12 kwie 2019, 20:45

Post autor: pozdrawiam »

Masz rację. Masakra, że czasem nie zauważam takich ważnych rzeczy, dziękuję bardzo za pomoc! :D
ODPOWIEDZ