pierwiastek dodatni

[Aneta001]

dla jakich wartości parametru \(m\) trójmian kwadratowy \(y=(m+1)x^2 +2x - 4m +1\) ma przynajmniej jeden pierwiasetk dodatni?

[matirafal]

Sprawdzamy \(\Delta >0\) oraz
Potem
a) \(x_1 \cdot x_2>0\) oraz \(x_1+x_2>0\)
b) \(x_1 \cdot x_2<0\)

\(a=m+1\)
\(b=2\)
\(c=-4m+1\)

\(\Delta =4-4(m+1)(-4m+1)=4+16(m-1)(m+1)\)
\(1+4(m+1)(m-1)>0\)
\(4(m+1)(m-1)>-1\)
\(4m^2>3\)
\(m> \frac{ \sqrt{3} }{2}\) oraz \(m<- \frac{ \sqrt{3} }{2}\)

a) \(x_1x_2= \frac{c}{a}= \frac{-4m+1}{m+1}>0\)
\((-4m+1)(m+1)>0\)
\(m \in (-1, \frac{1}{4})\)
\(x_1+x_2= \frac{-b}{a}= \frac{-2}{m+1}>0\)
\(-2(m+1)>0\)
\(x \in (- \infty ,-1)\)
więc tu sprzeczność

b) \(x_1x_2= \frac{c}{a}= \frac{-4m+1}{m+1<0\)
\((-4m+1)(m+1)<0\)
\(m \in (- \infty ,-1) \cup ( \frac{1}{4}, \infty )\)
więc odpowiedzią jest \(m \in (- \infty ,-1) \cup ( \frac{ \sqrt{3} }{2}, \infty )\)

[wsl1993_]

brakuje jeszcze przypadku , gdy delta jest równa zero i trójmian ma jeden pierwiastek. Wtedy trzeba użyć wzoru na wierzchołek paraboli, a dokładnie na współrzędną iksową. Czyli : 1)(delta=0) i x=(-b/2a)>0

[matirafal]

Już dodaje
\(\Delta =0\) oraz \(- \frac{b}{2a} >0\)
\(m= \frac{ \sqrt{3} }{2}\) oraz \(m=- \frac{ \sqrt{3} }{2}\)
\(- \frac{b}{2a}=- \frac{2}{m+1} >0\)
\(-2(m+1)>0\) czyli \(m \in (- \infty ,-1)\)
a zatem brak

[denatlu]

ma przynajmniej jeden pierwiastek dodatni

Ostatnio pojawiło się na forum.
Chyba łatwiej obliczyć odwrotnie, kiedy obydwa są ujemne.

wtedy liczysz \(x_1 \cdot x_2>0\) i \(x_1+x_2<0\) a potem cześć wspólną tych nierówności odejmujesz z \(\Delta \ge 0\).

[Przemo10]

.
Chyba łatwiej obliczyć odwrotnie, kiedy obydwa są ujemne.

wtedy liczysz \(x_1 \cdot x_2>0\) i \(x_1+x_2<0\) a potem cześć wspólną tych nierówności odejmujesz z \(\Delta \ge 0\).

Dużo szybciej tylko nieróności \(x_1 \cdot x_2 \ge 0\) i \(x_1+x_2 \le 0\) , bo \(0\) też trzeba wylkuczyć
Brakuje sprawdzenia dla \(m=-1\). Mimo, że nie ma dla \(m=-1\) ale sprawdzenie powinno być

[jakubowiczish]

Przepraszam za odkop sprzed ponad 4 lat, ale rozwiązanie jest błędne Odpowiedzią jest \(m \in (-\infty, -1) \cup (1/4, + \infty).\) Kolega pomylił się w delcie.