Funkcje i ich wlasnosci - zadania maturalne

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
pycek
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 53
Rejestracja: 02 sie 2008, 19:06

Post autor: pycek »

1.Wyznacz wspolczynniki funkcji kwadratowej f(x) = ax^2 + bx + 5 wiedzac ze f (x+2) - f(x+1) = 5x-4.

Zadanie raczej rachunkowe niz wymagajace myslenia,ale nie moge dojsc do postaci bym mogl pozniej porownac wspolczynniki i je wyznaczyc (no chyba,ze trzeba to zadanie zrobic inaczej :) )

2.Dany jest odcinek AB, A = (-1,3) B = (3,6).Funkcja f przyporzadkowywuje dowolnemu punktowi nalezacemu do odcinka AB jego odleglosc od punkty P = (1,1).Wyznacz zbior wartosci tej funkcji i jej wartosc najmniejsza.

3.Wyznacz wzor funkcji y = 2x+b ktorej wykres ma dokladnie jeden punkt wspolny z wykresem y = x^2 - 2x +1.

4.Naszkicuj wykres funkcji y = wb x^2 - 6x wb.Na podstawie wykresu okresl dla jakich m rownanie
wb x^2 - 6x wb = log 0,5 m ma co najmniej 3 rozwiazania.

wb - wartosc bezwzg.
log 0,5 m - to 0,5 jest przy podstawie

5.Dla jakich wartosci parametru m funkcja f(x) = (m^3 - 4m)x - m - 2 jest:
a) malejaca,b) nieparzysta c) parzysta

6.Naszkicuj wykres funkcji,ktora kazdej liczbie rzeczywisitej m przyporzadkowuje liczbe pierwiastkow rownania (m^2 + 5m - 6)x^2 + (2-2m)x + 3 = 0

7.Podaj dla jakich wartosci parametru k punkt przeciecia sie wykresow funkcji y = -2x + k + 5 i y = x - 5k +2 nalezy:

a) do II cwiatki ukladu wsp.
b) do polplaszczyzny opisanej nierownoscia y mniejsze badz rowne 0,5x - 1
c)do kola o srodku s = (0,0) i promienu r = 3
Awatar użytkownika
escher
Moderator
Moderator
Posty: 308
Rejestracja: 26 wrz 2008, 13:41
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 68 razy

Post autor: escher »

1. Podstawiając wzór na f dorównania otrzymujemy \(a(2x+3)+b=5x-4\), czyli
\(2ax+(3a+b)=5x-4\)

Stąd \(a=frac{5}{2}, b=-frac{23}{2}\).

2. Możemy sparametryzować odcinek AB na przykład tak: \(x=-1cdot (1-t)+3cdot t, y=3cdot (1-t)+6cdot t, tin [0,1]\).

Dostajemy wtedy następujący wzór na funkcję f: \(f(t)=\sqrt{(4t-2)^2+(3t+2)^2}, tin[0,1]\). Łatwiej jest zbadać najpierw funkcję pod pierwiastkiem. Oznaczmy ją g. \(g(t)=25t^2-4t+8\). To jest funkcja kwadratowa, przyjmuje minimum w punkcie \(t=frac{-b}{2a}=frac{2}{25}\). Zatem najmniejsza wartość to \(g(frac{2}{25})=frac{4}{25}-frac{8}{25}+8=frac{196}{25}\). Największa wartość g będzie w którymś z końców przedziału,
a \(g(0)=8<g(1)=29\).

Ponieważ pierwiastek jest funkcją rosnącą to f przyjmuje wartości w przedziale \([frac{14}{5}, sqrt{29}]\), a jej najmniejsza wartość na odcinku AB to \(frac{14}{5}=\sqrt{frac{196}{25}}\).



3. Pierwszy sposób. Chcemy dobrać b tak, aby równanie \(x^2-2x+1=2x+b\) miało jedno rozwiązanie.
To jest równanie kwadratowe \(x^2-4x+1-b=0\) i chcemy aby \(Delta = 0\).
Czyli mamy równanie \(16-4+4b=0\). Stąd\(b=-3\).

Drugi sposób. Prosta \(2x+b\) ma z parabolą jeden punkt wspólny wtedy, gdy jest do niej styczna. Patrzymy zatem w którym punkcie styczna do \(f=x^2-2x+1\) ma współczynnik kierunkowy 2 tak jak nasza prosta.
\(f'(x)=2x-2 = 2\) czyli \(x=2\). Zatem chcemy, by wartość f oraz 2x+b były takie same w x=2.
\(f(2)=4-4+1=1 =2cdot 2+b\). Stąd \(b=-3\).

Na razie tyle
escher
pycek
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 53
Rejestracja: 02 sie 2008, 19:06

Post autor: pycek »

Dzieki za odpowiedzi ;]

Ps.W rozwiazaniu zadania 6 wkradl sie chyba maly blad.Na samym poczatku pisze "Sprawdźmy najpierw co się dzieje, gdy równanie NIE jest liniowe." Tego NIE chyba nie powinno byc:)

Pozdrawiam i jeszcze raz dzieki za odp
ODPOWIEDZ