Funkacja wykladnicza, bardzo trudne zadania

[James]

Zapisz jako potege liczby 2: (załozmy ze p-pierwiastek, kp- koniec pierwiastka)
- 8* p trzeciego stopnia z 4 kp
- p2p2kpkp
- p8p8p8kpkpkp

Sprowadz do najprostszej postaci wyrazenie:

a^(pi) * a^ (p3kp) / (b^ (-pi) / b^p3kp) gdzie a>=0 i b>0


Czy istnieje taki argument, dla którego funkcja f(x) = 7^x przyjmuje wartość a) 2005; b) –1/49 ?

W wyniku jakich przekształceń wykresu funkcji g(x) = 2X, otrzymamy wykres funkcji f? Podaj zbiór wartosci funkcji:
- fx= 8*2^x
- 2^|x+2|
- 2^(|x|+2)

Rozwiaz rownanie, nierownosc badz uklad rownan: (załozmy ze p-pierwiastek, kp- koniec pierwiastka)
(5*p5kp)^x= 0,04*125^(x-2)

2^(3x-5) >0

2^(x+1)+5*2^(x-1)-9 <=0

{2^x +3^(y+1)=9
{2^(x+2) – 3^(y+4)=5

16^(x+1) –4^(2x+1) – 2^(4x-1) – 23*2^3=0

4^(p x kp) – 5*4^((p x kp –1)/2) +1=0

3^(3x+1) – 13*3^(2x) +13 *3^x=3

8^x+18^x-2*27^x=0

(2/3)^(p x^6-2x^3+1 kp) < (2/3)^(1-x)

4* 9^x < 4* 6^x + 3*4^x

{5^(x+1) +3^y =10
{9^y-25^(x+2)=56


Uzasadnij, że liczba 2 + 2^2 + 2^3 +... + 2^21 jest podzielna przez 7.

Oblicz:
{[(-2)^-1 + (-2)^-1]^-1 + (-2)^-1}^-1

Liczba a jest równa wartości wyrażenia (x^(4/9) – x^(2/9))*(x^(8/9)+x^(2/3)+x^(4/9)) dla x= p czwartego stopnia z 27 kp. Sprawdź, czy a jest miejscem zerowym funkcji f (x) = x2-6x + 6.

Uzasadnij, ze dla dowolnych liczb a należy do R+, k,n należy do R zachodzi rownosc:
(a^n+ 1/a^n)(a^k + 1/a^k)=a^(n+k) + 1/ a^(n+k) + a^(n-k) + 1/ a^(n-k)
Wykorzystujac te rownosc i wiedzac, ze a+ 1/a =3, oblicz:
a) a^2+ 1/a^2
b) a^3+1/a^3
c) a^5+1/a^5

Naszkicuj wykres funkcji fx=|2^x - 4|+1, a nastepnie okresl liczbe rozwiazan rownania fx= k^2 w zaleznosci od wartosci parametru k.

Funkcja f okreslona jest wzorem fx=3^x + 3^(-x)
a) zbadaj monotonicznosc funkcji f w przedziale <0;+niesk)
b) wyznacz najmniejsza wartosc funkcji f.

Wyznacz zbior wartosci funkcji fx= 25^x –10*5^x +9.

Wykaz, ze jeżeli liczby a i b sa rozne od zera i wykresy funkcji fx=a*2^x +b i gx=b*2^(-x) +a maja dokladnie jeden punkt wspolny, to iloczyn ab jest liczba dodatnia.

Dane sa funkcje fx=5^(2x) + 2^(2x) i gx=5^(x-4) + 2^(x+2). Rozwiaz nierownosc g(x+2) >= f(0,5x)

Znajdz nawieksza liczbe x, dla ktorej zachodzi rownosc (3/4)^(x-y) – (3/4)^(y-x) =7/12 i nierownosc xy+y<=9


Dla jakich wartości parametru k równanie 5^x= 3 - k nie ma rozwiązań?

Dla jakich wartości parametru m równanie a) 6^x = m- 5; b) 9^x -2*3^x + m = 0; c) m4^x –4*2^x +1=0
ma dokładnie jedno rozwiązanie?

Wyznacz te wartości parametru m, dla których dane równanie ma dwa różne rozwiązania.
a) 25x-m*5^x -m +5/4 =0; b) 3^|x| = m.

Wyznacz te wartości parametru a, dla których równanie x2 – (2^a -1)x-3(4^(a-1) – 2^(a-2))= 0 ma dwa pierwiastki roznych znakow.

Dla jakich wartości parametru m równanie 9^(1/2(x^2-x)-3/4) = pierwiastek czwartego stopnia z 3^(m-1) koniec pierwiastka ma takie dwa różne pierwiastki, że suma odwrotności ich kwadratów jest równa 8?

Dla jakich wartości parametru m równanie 2^(x(x+1)) * 8^(1/3m(m-1)) = pierwiastek z 2^(x^2) koniec pierwiastka * 8^(1/2(mx+m+1)) ma takie dwa różne pierwiastki, że suma ich odwrotności jest niedodatnia?

Dane jest rownanie 5^(x^2/x) + pierwiastek z 125^(kx+k+1) koniec pierwiastka – pierwiastek z 25^(k(k-1)) koniec pierwiastka / 5^(x(-x-1) =0 z parametrem k. Wyznacz te wartosci parametru k, dla których iloczyn roznych pierwiastkow danego rownania przyjmuje wartosc najmniejsza.

Dany jest uklad rownan:
{(0,5)^(m) *x-2y=1
{x-y=(0,5)^(m)
a) okresl liczbe rozwiazan tego ukladu w zaleznosci od wartosci parametru m.
b)wyznacz te wartosci parametru m, dla których para liczb (x,y), spelniajaca dany uklad rownan, jest para liczb niedodatnich.

Wyznacz wszystkie wartosci parametru m, dla których rownanie (m-3)9^(x) -(2m+6)3^(x) +m+2=0 ma dwa rozne pierwiastki.

Dla jakich wartosci parametru m rownanie 4^(x ) +(2m+1)2^(x+1) +4m^2 -5 nie ma rozwiazan?

Znajdz zbior tych wartosci parametru m, dla których rownanie m*2^(x ) +(m+3)*2^(-x) -4=0 ma co najmniej jedno rozwiazanie.

Okresl funkcje, która kazdemu argumentowi m nalezacemu do R przyporzadkowuje liczbe rozwiazan rownania (m-1)*4^(x) –4*2^(x) +m+2=0. Naszkicuj wykres tej funkcji.

Dla jakich wartosci parametru m rownanie 4^(|x|) +2(2m+1)2^(|x|) +4m^2 -5=0 ma tylko jedno rozwiazanie?

prosze o rozwiazanie, dziekuje

[escher]

To ja znowu zacznę, ale pewnie wszystkich nie przerobię.

\(8\sqrt[3]{4}=2^3cdot(2^2)^frac{1}{3}=2^{frac{9}{3}+frac{2}{3}=2^{frac{11}{3}}\)


\(frac{ a^{pi}cdot a^{\sqrt{3}} }{ frac{ b^{-pi} }{ b^{\sqrt{3}} } } =
a^{pi} a^{\sqrt{3}} frac{ b^{\sqrt{3}} }{ b^{-pi} } = a^{pi}a^{\sqrt{3}}b^{pi}b^{\sqrt{3}}=(ab)^{pi+\sqrt{3}}.\)


Funkcja \(7^x\) przyjmuje wszystkie wartości dodatnie i tylko dodatnie, więc 2005 jest wartością tej funkcji (dla argumentu, który oznaczamy \(log_7 2005\), a \(-frac{1}{49}\) nie jest wartością tej funkcji, bo jest liczbą ujemną.


\(f(x)=8cdot 2^x = 2^{x+3}=g(x+3)\). Zatem wyres funkcji f powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji g w lewo o 3.
f przyjmuje te same wartości co g, a więc wszystkie liczby dodatnie.

\(f(x)=2^{|x+2|}\). Część wykresu na prawo od \(x=-2\) jest przesuniętym o 2 w lewo wykresem funkcji g. Natomieast część na lewo od \(x=-2\) powstaje przez odbicie tej części, która jest na prawo od prostej \(x=-2\) względem tej prostej. Funkcja f przyjmuje zatem te wartości, które funkcja g przyjmuje dla argumentów \(xgeq 0\), czyli liczby rzeczywiste \(geq 1\).

\(f(x)=2^{|x|+2}\). Tu rozważmy dwa przypadki. Dla \(xgeq 0, f(x)=2^{x+2}\) jest to część wykresu funkcji g przesuniętego o 2 w lewo. Dla \(x<0, f(x)=2^{-(x-2)}\). Wykres tej części f powstaje przez odbicie części w prawej półpłaszczyżnie względem osi Oy, a następnie przesunięcie o 2 w prawo (pozostawiając tylko to co pozostanie w lewej półpłaszczyźnie).
f przyjmuje te wartości, które g przyjmuje dla \(xgeq 2\), bo tylko tej części wykresu funkcji g tak na prawdę użyliśmy,
czyli zbiorem wartości funkcji f jest \({yinR:; ygeq 4}\).



\((5\sqrt{5})^x=0,04cdot 125^{(x-2)}\). Sprowadzamy najpierw równanie do takiej postaci, aby z lewej i prawej strony mieć tą samą podstawę, czyli najprościej 5.

\(left(5^{frac{3}{2}}right)^x=frac{1}{25}cdot (5^3)^{x-2}\)

\((5^{frac{3}{2}x)^x=5^{3x-6-2}\)

Stąd, ponieważ \(5^x\) jest funkcją różnowartościową otrzymujemy równanie

\(frac{3}{2}x=3x-8\), skąd \(x=frac{16}{3}\).



\(begin{cases}2^x+3^{y+1}=9\ 2^{x+2}-3^{y+4}=5end{cases}\)
Aby dostać równanie z jedną niewiadomą możemy zredukować wyrazy z x. W tym celu mnożymy pierwsze równanie przez 4 i odejmujemy drugie. Otrzymujemy
\(4cdot 3^{y+1}+3^{y+4}=31\)
Czyli \((4+27)3^{y+1}=31\)

\(3^{y+1}=1 Rightarrow y=-1\).
Aby obliczyć x wstawiamy ten wynik do pierwszego równania i mamy \(2^x+1=9Rightarrow x=3\).



Na razie tyle
escher

[escher]

Ominąłem wyżej dwie nierówności:

\(2^{3x-5}>0\) dla każdej liczby rzeczywistej x (z własności funkcji wykładniczej.

W kolejnych zadaniach trzeba najpierw sprowadzić wyrazy z funkcją wykładniczą do tej samej postaci.
\(2^{x+1}+5\cdot 2^{x-1}-9\leq 0\) jest równoważne
\(4\cdot 2^{x-1}+5\cdot 2^{x-1}-9\leq 0\)

\(9\cdot 2^{x-1}\leq 9\)

\(2^{x-1}\leq 2^{0}\)

\(x\leq 1\). (skorzystaliśmy z tego, że \(2^x\) jest funkcją rosnącą.



\(16^{x+1}-4^{2x+1}-2^{4x-1} - 23\cdot 2^3=0\) Tą wspólną postacią może być np. \(16^x\) albo \(2^{4x-1}\) albo coś podobnego. Wybieram \(16^x\).

\(16\cdot 16^x-4\cdot 16^x - \frac{1}{2}16^x-\frac{23}{2}\cdot 16=0\)

\(\frac{23}{2}\cdot 16^x=\frac{23}{2}\cdot 16^1\). Stąd \(x=1\).



\(4^{\sqrt{x}}-5\cdot 4^{\frac{\sqrt{x}-1}{2} }+1=0\)

\(4^{\sqrt{x}}-5\cdot 4^{\frac{\sqrt{x}}{2} }\frac{1}{4^{\frac{1}{2}} }+1=0\)

Podstawiamy \(u=4^{\frac{\sqrt{x}}{2} }\) i otrzymujemy równanie kwadratowe
\(u^2-\frac{5}{2}u+1=0\). Interesują nas tylko takie rozwiązania w których \(u\geq 1\), bo tylko dla takich u możemy dobrać x (z własności funkcji wykładniczej i tego, że pierwiastek z x jest nieujemny)

Powyższe równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki \(u=\frac{1}{2}\) i \(u=2\). Interesuje nas tylko ten drugi i wtedy

\(4^{\frac{\sqrt{x}}{2} }=4^{\frac{1}{2} }\), czyli \(\sqrt{x}=4 \Rightarrow x=2\).




To jeszcze zadanie z sumą potęg dwójki na kilka sposobów.
Sposób I
Potęgi dwójki dają z dzielenia przez 7 cyklicznie reszty 2, 4, 1. Wobec tego suma \(2^1+2^2+\cdots +2^{19}+2^{20}+2^{21}\) daje z dzielenia przez 7 taką samą resztę jak \(2+4+1+\cdots+2+4+1=(2+4+1)\cdot 7=49\), czyli zero. Zatem dzieli się przez 7.
Sposób II
Korzystamyze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego
\(2+2^2+2^3+\dots +2^{21}=2\cdot\frac{2^{21}-1}{2-1}=2(2^{3\cdot 7}-1)\)
Teraz można zauważyć, że ma zastosowanie wzór \(x^7-1=(x-1)(1+x+\dots+x^6)\) też zresztą związany z ciągiem geometrycznym (w drugim nawiasie),
\(2(2^{3\cdot 7})=2(2^3-1)(1+2^3+2^6+\dots+2^{18})\). Jako, że \(2^3-1=7\) całe wyrażenie dzieli się przez 7.
Sposób III
Tak jak wyżej
\(2+2^2+2^3+\dots +2^{21}=2^{22}-2=4194302=7\cdot 599186\) Oczywiście nie twierdzę, że to widać bez kalkulatora

escher