Wielomian

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
jackobb
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 20
Rejestracja: 11 wrz 2010, 16:25
Podziękowania: 3 razy

Wielomian

Post autor: jackobb »

Wielomian W dany jest wzorem

\(w(x)=x^3 -2x^2 -x+2\)

a)sprawdź, czy wielomian W jest podzielny przez dwumian x+2
b)wyznacz pierwiastki wielomianu w
c)wyznacz wartosci parametru m, dla których wielomian G, określony wzorem G(x)=W(x) + mx-2, ma co najmniej jeden pierwiastek dodatni
Awatar użytkownika
domino21
Expert
Expert
Posty: 3725
Rejestracja: 27 mar 2009, 16:56
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 1298 razy
Płeć:
Kontakt:

Post autor: domino21 »

a. wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-a, jeżeli W(a)=0, sprawdźmy:
\(W(-2)=(-2)^3-2\cdot (-2)^2-(-2)+2=-8-8+2+2=-12 \neq 0\)
W(x) nie jest podzielny przez x+2

b.
\(x^3-2x^2-x+2=0
x(x^2-1)-2(x^2-1)=0
(x-2)(x^2-1)=0
(x-2)(x+1)(x-1)=0
x=2 \ \vee \ x=-1 \ \vee \ x=1\)


pierwiastki wielomianu W(x) są liczy -1,1 oraz 2

c.
\(G(x)=x^3-2x^2-x+2+mx-2=x^3-2x^2+(m-1)x=x[x^2-2x+(m-1)]\)
więc wielomian G(x) ma na pewno jeden pierwiastek x=0, pozostało sprawdzić, kiedy trójmian \(x^2-2x+(m-1)\) ma co najmniej jeden pierwiastek dodatni:

\(\Delta=4-4(m-1)=4(1-m+1)=-4(m-2)\)

1. \(\Delta=0 \ \Leftrightarrow \ -4(m-2)=0 \ \Rightarrow \ m=2\)
\(x_o =\frac{-b}{2a}=\frac{2}{2}=1\)

\(\Delta > 0 \ \Leftrightarrow \ -4(m-2) >0 \ \Rightarrow \ m-2 <0 \ \Rightarrow \ m<2\)

1. jeden dodatni, jeden ujemny: \(x_1 \cdot x_2 <0 \ \Rightarrow \ \frac{c}{a}<0 \ \Rightarrow \ m-1<0 \ \Rightarrow \ m<1\)
2. dwa dodatnie: \(\begin{cases} x_1+x_2 >0 \\ x_1 \cdot x_2 >0 \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases} \frac{-b}{a} >0 \\ \frac{c}{a} >0 \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases} 2>0 \\ m-1>0 \end{cases} \ \Rightarrow \ m>1\)

zbieramy wszystko:
dla m=2 trójmian ma jeden pierwiastek podwójny x=1

\(\begin{cases} m<1 \\ m<2 \end{cases} \ \Rightarrow \ m<1\) jeden dodatni, jeden ujemny

\(\begin{cases} m>1 \\ m<2 \end{cases} \ \Rightarrow \ m\in (1;2)\) dwa dodatnie

\(m=2 \ \vee \ m<1 \ \vee \ m\in (1;2) \ \Rightarrow \ m\in (-\infty;2>\)
philo
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 11
Rejestracja: 17 kwie 2011, 16:44
Płeć:

Post autor: philo »

domino21 pisze:\(m=2 \ \vee \ m<1 \ \vee \ m\in (1;2) \ \Rightarrow \ m\in (-\infty;2>\)
mam pytanie, czy z tego czasem nie wynika, że jeden nie należy do rozwiązania ?
'Idź dokąd poszli tamci do ciemnego kresu po złote runo nicości'
Awatar użytkownika
domino21
Expert
Expert
Posty: 3725
Rejestracja: 27 mar 2009, 16:56
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 1298 razy
Płeć:
Kontakt:

Post autor: domino21 »

tam powinna być chyba część wspólna tych zbiorów, ale głowy nie dam
bo z rana baardzo głowa boli ;/
siatkarz_88
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 11
Rejestracja: 25 sty 2012, 22:58
Płeć:

Post autor: siatkarz_88 »

Ja mam również pytanie odnośnie tej 1. W końcowym wyniku jest ona uwzględniona w odpowiedzi, natomiast z założeń wynika, że jej tam nie ma.
siatkarz_88
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 11
Rejestracja: 25 sty 2012, 22:58
Płeć:

Post autor: siatkarz_88 »

Czy nie powinniśmy dołożyć jeszcze jednego warunku, że jeden z pierwiastków równy jest zero natomiast drugi jest dodatni. I zrobić założenie x1*x2=0 i x1+x2>0 ?
haharuka
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 289
Rejestracja: 30 gru 2013, 15:40
Podziękowania: 94 razy
Otrzymane podziękowania: 11 razy
Płeć:

Re: Wielomian

Post autor: haharuka »

podpunkt c, 1 założenie
Skoro delta jest równa 0, to mamy tylko jeden pierwiastek. Dlaczego zakładasz, że 1 jest dodatni, a drugi ujemny? W tej sytuacji występuje tylko 1 dodatni, moim zdaniem.
haharuka
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 289
Rejestracja: 30 gru 2013, 15:40
Podziękowania: 94 razy
Otrzymane podziękowania: 11 razy
Płeć:

Re: Wielomian

Post autor: haharuka »

haharuka pisze:podpunkt c, 1 założenie
Skoro delta jest równa 0, to mamy tylko jeden pierwiastek. Dlaczego zakładasz, że 1 jest dodatni, a drugi ujemny? W tej sytuacji występuje tylko 1 dodatni, moim zdaniem.
I kiedy delta jest większa od 0, mamy 2 rozwiązania: 1 dodatni i 1 ujemny oraz oba dodatnie
Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2946
Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1556 razy
Płeć:

Post autor: Panko »

kiedy trójmian \(R(x)= x^2 -2x + (m-1)\) ma co najmniej jeden pierwiastek dodatni ?
\(R( x) = (x-1)^2 + (m-2)\) i jest to jego postać kanoniczna ,stąd wierzchołek \(W= ( 1, m-2 )\)
Jeżeli tylko \(\Delta \ge 0\) to co najmniej jeden pierwiastek jest \(\ge 1\), bo popatrz na parabolę.
unknown1
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 6
Rejestracja: 12 sty 2014, 21:37
Płeć:

Re:

Post autor: unknown1 »

philo pisze:
domino21 pisze:\(m=2 \ \vee \ m<1 \ \vee \ m\in (1;2) \ \Rightarrow \ m\in (-\infty;2>\)
mam pytanie, czy z tego czasem nie wynika, że jeden nie należy do rozwiązania ?
Też mi się wydaje, że poprawną odpowiedzią będzie \(m \in (- \infty , 2> - \left\{1 \right\}\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

Dla m=1 mamy:
\(G(x)=x(x^2-2x+1)=x(x-1)^2\\x=0\ \vee\ x=1\)

Dla m=1 jest jeden pierwiastek dodatni, x=1
ODPOWIEDZ