styczna do wykresu

[medycynka]

Funkcja \(f(x) = x^2 + \frac{m^2+7}{x}\) jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych x różne od 0 i ma minimum lokalne w punkcie x0>0.
Styczna do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej x0 przecina oś y w punkcie A. Określ znak rzędnej punktu A.

Wiem, że y=a*(x-x0)+f(x) czyli y=a*x-a*x0+f(x0)
Czyli ta rzędna będzie określona przez -a*x0+f(x0).
Tylko nie wiem jaki znak będzie miało a czyli f'(X0)
Proszę o pomoc

[Tulio]

Pochodna:
\(f'\left( x \right) = 2x- \frac{m^2+7}{x^2} \)
szukamy ekstremów:
\(2x- \frac{m^2+7}{x^2} = 0\)
\(2x^3 = m^2+7\)
\(x = \sqrt[3]{ \frac{m^2+7}{2} }\)
Faktycznie dla każdego rzeczywistego \(m\) jest to liczba dodatnia. Uznajemy, że jest to minimum.
Styczna ma współczynnik \(a\):
\(a = f' \left( \sqrt[3]{ \frac{m^2+7}{2} }\right) = \sqrt[3]{m^2+7} \left( \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}\sqrt[3]{m^2+7} \right) \)
Czyli jak dobrze patrzę - \(a<0\) - styczna jest malejąca dla każdego \(m\)

Dalsze instrukcje:
liczysz \(y=f \left( \sqrt[3]{ \frac{m^2+7}{2}}\right)\)
i wstawiasz do
\(y=ax+b\)
gdzie \(a\) już znasz - liczysz \(b\).
Znajdujesz punkt przecięcia przez wstawienie \(x=0\) (lub odczytanie \(b\)).

[Jerry]

Wg mnie:

Dla \(x>0\), z nierówności Cauchy'ego o średnich, mamy
\[f(x) = x^2 + \frac{m^2+7}{2x}+\frac{m^2+7}{2x}\ge3\sqrt[3]{x^2\cdot\frac{m^2+7}{2x}\cdot\frac{m^2+7}{2x}}={3\over2}\sqrt[3]{2(m^2+7)^2}\]
i równość zachodzi dla
\[x^2 = \frac{m^2+7}{2x}=\frac{m^2+7}{2x}\iff x=\frac{\sqrt[3]{4(m^2+7)}}{2}\]
Ponieważ styczna w tym minimum jest pozioma, to przecina oś rzędnych w punkcie
\[A\left(0,{3\over2}\sqrt[3]{2(m^2+7)^2}\right)\]
zatem
\[y_A>0\]
Pozdrawiam

[janusz55]

\( f(x) = x^2 + \frac{m^2+7}{x}, \ \ x\in \rr \setminus \{0\} \)

Ekstremum lokalne funkcji

\( f'(x) = 2x - \frac{m^2+7}{x^2}.\)

\( f'(x) = 0 \leftrightarrow 2x - \frac{m^2+7}{x^2} = 0 \leftrightarrow \frac{2x^3 -m^2 -7}{x^2}=0 \leftrightarrow 2x^3 -m^2 -7 =0 \leftrightarrow 2x^3 = m^2+7 \leftrightarrow x_{0} = \sqrt[3]{\frac{m^2+7}{2}} >0 \) dla każdego \( m\in\rr.\)

Czy w tym punkcie funkcja ma minimum lokalne?

\( f^{''}(x) = 2 + \frac{m^2+7}{x^3}. \)

\( f^{''}(x_{0}) = 2 + \frac{m^2+7}{\left(\sqrt[3]{\frac{m^2+7}{2}}\right)^3} = 2 +\frac{m^2+7}{\frac{m^2+7}{2}} = 2 +2 = 4>0. \)

W punkcie \( x_{0} = \sqrt[3]{\frac{m^2+7}{2}} \) występuje minimum lokalne (właściwe) funkcji.

Równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie \(x_{0}.\)

\( y = 0\cdot (x-x_{0}) + f(x_{0}) = \sqrt[3]{\left(\frac{m^2+7}{2}\right)^2} + \frac{m^2+7}{\sqrt[3]{\frac{m^2+7}{2}}}= \frac{\frac{m^2+7}{2} +m^2+7}{\sqrt[3]{\frac{m^2+7}{2}}} = \frac{\frac{3}{2}(m^2+7)}{\sqrt[3]{\frac{m^2+7}{2}}} = \frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{(m^2+7)^3}{\frac{m^2+7}{2}}}= \frac{3}{2}\sqrt[3]{2(m^2+7)^2}> 0.\)

Rzędna punktu \( A \), w którym styczna do wykresu funkcji przecina oś \( Oy \) jest dodatnia dla każdej rzeczywistej wartości parametru \( m.\)