Wyznaczanie wartości funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
kuba12324
- Witam na forum
- Posty: 1
- Rejestracja: 21 maja 2023, 17:32
Wyznaczanie wartości funkcji
Niech parametr a będzie liczbą rzeczywistą dodatnią. Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f(x) = \(x^{4}\) + 2a\(x^{-2}\) dla x ≠ 0. Dla jakich a wartości funkcji f(x) nie są mniejsze niż 12?
-
Icanseepeace
- Stały bywalec
- Posty: 389
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 220 razy
- Płeć:
Re: Wyznaczanie wartości funkcji
Dla \( a < 0 \) mamy \( \lim\limits_{x\to 0} f(x) = -\infty \) zatem najmniejsza wartość nie istnieje
Dla \( a \geq 0 \) możemy wspomóc się nierównością pomiędzy średnią arytmetyczną oraz geometryczną
\( f(x) = x^4 + 2ax^{-2} = x^4 + \frac{a}{x^2} + \frac{a}{x^2} \geq 3 \sqrt[3]{x^4 \cdot \frac{a}{x^2} \cdot \frac{a}{x^2}} = 3\sqrt[3]{a^2} \)
przy czym równość zachodzi gdy \( x^4 = \frac{a}{x^2} \So x = \pm \sqrt[6]{a} \)
Druga część zadania to rozwiązanie nierówności
\( 3\sqrt[3]{a^2} \geq 12 \)
w dziedzinie \( a \geq 0 \)
Zamiast używać nierówności pomiędzy średnia arytmetyczną i geometryczną można użyć pochodnej funkcji.
Edit:
Poprawiłem nierówność.
Dla \( a \geq 0 \) możemy wspomóc się nierównością pomiędzy średnią arytmetyczną oraz geometryczną
\( f(x) = x^4 + 2ax^{-2} = x^4 + \frac{a}{x^2} + \frac{a}{x^2} \geq 3 \sqrt[3]{x^4 \cdot \frac{a}{x^2} \cdot \frac{a}{x^2}} = 3\sqrt[3]{a^2} \)
przy czym równość zachodzi gdy \( x^4 = \frac{a}{x^2} \So x = \pm \sqrt[6]{a} \)
Druga część zadania to rozwiązanie nierówności
\( 3\sqrt[3]{a^2} \geq 12 \)
w dziedzinie \( a \geq 0 \)
Zamiast używać nierówności pomiędzy średnia arytmetyczną i geometryczną można użyć pochodnej funkcji.
Edit:
Poprawiłem nierówność.