kwadratowa z parametrem

[franco11]

Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których równanie \(x^2+p=4 |x|-1\) ma dwa rozwiązania.

[radagast]

Narysujmy:

No i widać , że dla p>-1 równanie ma dwa rozwiązania

[Icanseepeace]

Z pomocą równości \( x^2 = |x|^2 \) powyższe równanie możemy zapisać następująco:
\( |x|^2 - 4|x| + 1 + p = 0 \).
Podstawiając \( t = |x| \) dostajemy równanie:
\( t^2 - 4t + 1 + p = 0 \)
które aby były spełnione warunki zadania musi mieć jedno rozwiązanie dodatnie. Zatem:
\( (\Delta = 0 \wedge t_0 > 0) \vee (\Delta > 0 \wedge t_1 \cdot t_2 < 0) \)

[radagast]

ICANSEEPEACE zwrócił mi uwagę, że każda z tych parabol przetnie się powtórnie z wykresem funkcji \(y=x^2 +p\).
Przyznaję że ma rację . Mój błąd .
Zatem nie ma takiego p .
Przypuszczam , że z jego rachunku tak wyjdzie.

[Jerry]

\(x^2+p=4 |x|-1\iff -x^2+4|x|-1=p\)
Rozpatrzmy \(y_L=-x^2+4|x|-1\) i \(y_P=p\)określone w \(\rr\). Analizując wykresy można sformułować odpowiedź

Pozdrawiam
PS. Uruchom suwak!

[radagast]

No i znów wpadka
Właściwa odpowiedź : \(p<-1\) . Wystarczy poprawnie odczytać mój własny rysunek

[Jerry]

...Właściwa odpowiedź : \(p<-1\) . ...

Lub \(p=3\)

Pozdrawiam
PS.

Ten się nie myli, kto nic nie robi!