Rownanie funkcji z parametrem m

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
supermistrz
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 17 lut 2020, 01:42
Podziękowania: 5 razy

Rownanie funkcji z parametrem m

Post autor: supermistrz » 17 lut 2020, 02:28

Dane jest rownanie paraboli
y=mx^2+2(m-1)x+m^2

a) Dla jakich wartosci parametru m rownania rzedna wierzcholka paraboli nalezy do przedzialu (1,5)?

b) Ustal liczbe rozwiazan rownania w zaleznosci od wartosci parametru m
mx^2+2(m-1) IxI+m^2=0

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 14232
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 8358 razy
Płeć:

Re: Rownanie funkcji z parametrem m

Post autor: eresh » 17 lut 2020, 09:56

supermistrz pisze:
17 lut 2020, 02:28
Dane jest rownanie paraboli
y=mx^2+2(m-1)x+m^2

a) Dla jakich wartosci parametru m rownania rzedna wierzcholka paraboli nalezy do przedzialu (1,5)?
1. \(m\neq 0\)
2. \(1<q<5\)
\(\Delta=4(m-1)^2-4m^3\\
q=\frac{-4(m-1)^2+4m^3}{4m}=\frac{m^3-m^2+2m-1}{m}\\
\frac{m^3-m^2+2m-1}{m}>1\;\; \wedge \;\;\frac{m^3-m^2+2m-1}{m}<5\\
(m^3-m^2+2m-1)m-m^2>0\;\;\;\wedge\;\;\;(m^3-m^2+2m-1)m-5m^2<0\\
m(m^3-m^2+2m-1-m)>0\;\;\;\wedge\;\;\;m(m^3-m^2+2m-1-5m)<0\\
m(m^3-m^2+m-1)>0\;\;\wedge\;\;\;m(m^3-m^2-3m-1)<0\\
m(m-1)(m^2+1)>0\;\;\wedge\;\;m(m+1)(m-(1-\sqrt{2}))(m-(1+\sqrt{2}))<0\\
m\in (-1,1-\sqrt{2})\cup (1,1+\sqrt{2})
\)

Awatar użytkownika
Jerry
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 140
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Otrzymane podziękowania: 68 razy

Re: Rownanie funkcji z parametrem m

Post autor: Jerry » 17 lut 2020, 18:15

supermistrz pisze:
17 lut 2020, 02:28
b) Ustal liczbe rozwiazan rownania w zaleznosci od wartosci parametru \(m\)
\(mx^2+2(m-1)|x|+m^2=0\)
Niech \(|x|=t\wedge t\ge 0\)
Wtedy \(mt^2+2(m-1)t+m^2=0\ \ \ (ii)\)
\(0^\circ\ m=0\Rightarrow t=0\Rightarrow x=0\)
\(1^\circ\ m\ne 0\)
\(2^\circ\ \Delta(m)=-4(m^3-m^2+2m-1)\)
i tu zaczynają się schody... istnieje takie \(m_0\approx 0,67\), dla którego \(\Delta(m)=0\) , i funkcja ta jest malejąca(pomógł mi wolfram)
\(3^\circ\ i(m)=t_1\cdot t_2=m\wedge m\in (-\infty;\ 0)\cup (0;\ m_0)\)
\(4^\circ\ s(m)=t_1+t_2=\frac{-2(m-1)}{m}\wedge m\in (-\infty;\ 0)\cup (0;\ m_0)\)

Dane równanie nie ma rozwiązań, o ile równanie \((ii)\) nie ma rozwiązań nieujemnych, tzn.
\(\Delta(m)<0\vee \left(\Delta(m)\ge0\wedge i(m)>0\wedge s(m)<0\right)\)

Dane równanie ma jedno rozwiązanie w przypadku liniowym, oraz o ile równanie \((ii)\) ma rozwiązanie \(t=0\), a ewentualne drugie jest ujemne, tzn.
\((\Delta(m)=0\wedge s(m)=0)\vee(\Delta(m)>0\wedge i(m)=0\wedge s(m)<0)\)

Dane równanie ma dwa rozwiązania, o ile równanie \((ii)\) ma jedno dodatnie rozwiązanie, a ewentualne drugie jest ujemne, tzn.
\((\Delta(m)=0\wedge s(m)>0)\vee(\Delta(m)>0\wedge i(m)<0)\)

Dane równanie ma trzy rozwiązania, o ile równanie \((ii)\) ma rozwiązanie \(t=0\), a drugie jest dodatnie, tzn.
\(\Delta(m)>0\wedge i(m)=0\wedge s(m)>0\)

Dane równanie ma cztery rozwiązania, o ile równanie \((ii)\) ma dwa dodatnie rozwiązanie, tzn.
\(\Delta(m)>0\wedge i(m)>0\wedge s(m)>0\)

Jeśli popełniłeś błąd w przepisywaniu równania - odtwórz powyższy schemat dla poprawnej treści; jeśli nie - też dolicz sam...

Pozdrawiam

Awatar użytkownika
Jerry
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 140
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Otrzymane podziękowania: 68 razy

Re: Rownanie funkcji z parametrem m

Post autor: Jerry » 18 lut 2020, 08:38

Jerry pisze:
17 lut 2020, 18:15
\(3^\circ\ i(m)=t_1\cdot t_2=m\wedge m\in (-\infty;\ 0)\cup (0;\ m_0)\)
\(4^\circ\ s(m)=t_1+t_2=\frac{-2(m-1)}{m}\wedge m\in (-\infty;\ 0)\cup (0;\ m_0)\)
A powinno być
\(3^\circ\ i(m)=t_1\cdot t_2=m\wedge m\in (-\infty;\ 0)\cup (0;\ m_0\rangle\)
\(4^\circ\ s(m)=t_1+t_2=\frac{-2(m-1)}{m}\wedge m\in (-\infty;\ 0)\cup (0;\ m_0\rangle\)

Pozdrawiam

supermistrz
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 17 lut 2020, 01:42
Podziękowania: 5 razy

Re: Rownanie funkcji z parametrem m

Post autor: supermistrz » 19 lut 2020, 05:29

eresh pisze:
17 lut 2020, 09:56
supermistrz pisze:
17 lut 2020, 02:28
Dane jest rownanie paraboli
y=mx^2+2(m-1)x+m^2

a) Dla jakich wartosci parametru m rownania rzedna wierzcholka paraboli nalezy do przedzialu (1,5)?
1. \(m\neq 0\)
2. \(1<q<5\)
\(\Delta=4(m-1)^2-4m^3\\
q=\frac{-4(m-1)^2+4m^3}{4m}=\frac{m^3-m^2+2m-1}{m}\\
\frac{m^3-m^2+2m-1}{m}>1\;\; \wedge \;\;\frac{m^3-m^2+2m-1}{m}<5\\
(m^3-m^2+2m-1)m-m^2>0\;\;\;\wedge\;\;\;(m^3-m^2+2m-1)m-5m^2<0\\
m(m^3-m^2+2m-1-m)>0\;\;\;\wedge\;\;\;m(m^3-m^2+2m-1-5m)<0\\
m(m^3-m^2+m-1)>0\;\;\wedge\;\;\;m(m^3-m^2-3m-1)<0\\
m(m-1)(m^2+1)>0\;\;\wedge\;\;m(m+1)(m-(1-\sqrt{2}))(m-(1+\sqrt{2}))<0\\
m\in (-1,1-\sqrt{2})\cup (1,1+\sqrt{2})
\)
Jeszcze raz dziękuję za pomoc. Mam prośbę: proszę o rozwinięcie przekształcenia m(m^3-m^2-3m-1)<0 na wynik końcowy.
Pozdrawiam serdecznie

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 14232
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 8358 razy
Płeć:

Re: Rownanie funkcji z parametrem m

Post autor: eresh » 19 lut 2020, 09:55

supermistrz pisze:
19 lut 2020, 05:29
eresh pisze:
17 lut 2020, 09:56
supermistrz pisze:
17 lut 2020, 02:28
Dane jest rownanie paraboli
y=mx^2+2(m-1)x+m^2

a) Dla jakich wartosci parametru m rownania rzedna wierzcholka paraboli nalezy do przedzialu (1,5)?
1. \(m\neq 0\)
2. \(1<q<5\)
\(\Delta=4(m-1)^2-4m^3\\
q=\frac{-4(m-1)^2+4m^3}{4m}=\frac{m^3-m^2+2m-1}{m}\\
\frac{m^3-m^2+2m-1}{m}>1\;\; \wedge \;\;\frac{m^3-m^2+2m-1}{m}<5\\
(m^3-m^2+2m-1)m-m^2>0\;\;\;\wedge\;\;\;(m^3-m^2+2m-1)m-5m^2<0\\
m(m^3-m^2+2m-1-m)>0\;\;\;\wedge\;\;\;m(m^3-m^2+2m-1-5m)<0\\
m(m^3-m^2+m-1)>0\;\;\wedge\;\;\;m(m^3-m^2-3m-1)<0\\
m(m-1)(m^2+1)>0\;\;\wedge\;\;m(m+1)(m-(1-\sqrt{2}))(m-(1+\sqrt{2}))<0\\
m\in (-1,1-\sqrt{2})\cup (1,1+\sqrt{2})
\)
Jeszcze raz dziękuję za pomoc. Mam prośbę: proszę o rozwinięcie przekształcenia m(m^3-m^2-3m-1)<0 na wynik końcowy.
Pozdrawiam serdecznie
\(m(m^3-m^2-3m-1)<0\\
m(m^3-2m^2+m^2-2m-m-1)<0\\
m(m^3-2m^2-m+m^2-2m-1)<0\\
m(m(m^2-2m-1)+(m^2-2m-1))<0\\
m(m^2-2m-1)(m+1)<0\\
\Delta = 4+4=(2\sqrt{2})\\
m_1=\frac{2-2\sqrt{2}}{2}=1-\sqrt{2}\\
m_2=\frac{2+2\sqrt{2}}{2}=1+\sqrt{2}\\
m(m-(1-\sqrt{2}))(m-(1+\sqrt{2}))(m+1)<0\\
m\in (-1,1-\sqrt{2})\cup (0,1+\sqrt{2})
\)


ostatecznym wynikiem jest \(m\in (-1,1-\sqrt{2})\cup (1,1+\sqrt{2})\)

Galen
Guru
Guru
Posty: 18297
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 9082 razy

Re: Rownanie funkcji z parametrem m

Post autor: Galen » 19 lut 2020, 15:46

Rozwinięcie przekształcenia
\(m(m^3-m^2-3m-1)<0\\m\cdot[m^3-m^2-m-m-m-1]<0\\m\cdot[(m^3-m)-(m^2+m)-(m+1)]<0\\m\cdot[m(m^2-1)-m(m+1)-(m+1)]<0\\m\cdot[m(m-1)(m+1)-m(m+1)-(m+1)]<0\\m(m+1)\cdot[m(m-1)-m-1]<0\\m(m+1)\cdot[m^2-m-m-1]<0\)
Nierówność ma postać...
\(m(m+1)(m^2-2m-1)<0\)
Liczysz miejsca zerowe i rysujesz "wężyk",czyli krzywą znaków...
\(m\in (-1;\;1-\sqrt{2}) \cup (0;\;1+ \sqrt{2})\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.