kolejka

[nimampojecia]

w kolejce stoi 5 mężczyzn i 5 kobiet. jakie jest prawdopodobieństwo, że 2 pierwsze osoby to kobiety, a trzecia to mężczyzna. Jeżeli ostatni stoi mężczyzna.

[grdv10]

Nieco przeformułuję zadanie. Mamy 5 liter K i 5 liter M. Budujemy z nich 10-literowe wyrazy, np. MKMKKMKMMK. Po prostu zakładam nierozróżnialność w gronie mężczyzn i w gronie kobiet, tak jak nie rozróżniasz liter w alfabecie: M zawsze wygląda tak samo.

Ograniczymy się tylko do tych wyrazów, w których na końcu jest M. Tak więc budujemy wyrazy 9-lirerowe z pięciu liter K i czterech liter M. Wszystkich takich wyrazów jest \(\binom{9}{5}=126\) (wystarczy rozmieścić tylko litery K, litery M wstawiamy w wolne miejsca). Teraz wyrazy zaczynające się na KKM. Zostały więc 3 litery K i 3 litery M do rozmieszczenia na sześciu miejscach. Takich możliwości jest \(\binom{6}{3}=20.\) Zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi \(\frac{20}{126}=\frac{10}{63}.\)

A teraz inaczej = prawdopodobieństwo warunkowe.

Wszystkich wyrazów jest \(\binom{10}{5}=252.\)

\(A\) - wyrazy KKM...
\(B\) - na ostatnim miejscu M - \(\binom{9}{5}=126\) możliwości.
\(A\cap B\) czyli wyrazy KKM_ _ _ _ _ _ M: j.w. \(\binom{6}{3}=20\) możliwości.

Zatem \(P(B)=\frac{126}{252}=\frac{1}{2},\ P(A\cap B)=\frac{20}{252}.\)

Dalej:\[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{20}{252}}{\frac{1}{2}}=\frac{20}{252}\cdot 2\]i wychodzi tak samo.

[Jerry]

Wg mnie ludzie są rozróżnialni! I chociaż odpowiedzi są zgodne, to:

\(\Omega\) jest zbiorem permutacji zbioru \(10\)-cio elementowego. \(|\Omega|=10!\)

\(H\) to zdarzenie "ostatni stoi mężczyzna". \(|H|={5\choose1}\cdot 9!\), bo wybieram mężczyznę na koniec kolejki, pozostałe osoby pemutuję na pozostałych miejscach.

\(A\) to zdarzenie "2 pierwsze osoby to kobiety, a trzecia to mężczyzna". \(|A\cap H|={6\choose3}\cdot 5!\cdot5!\), bo z miejsc \(4.-9.\) wybieram miejsca dla pozostałych mężczyzn (\(3.\) i \(10.\) są już zarezerwowane dla mężczyzn) i permutuję kobiety oraz mężczyzn na miejscach dla nich zarezerwowanych.

Zakładając jednakowe prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych, z definicji Laplace'a i prawdopodobieństwa warunkowego
\[p(A/H)=\frac{20\cdot5!\cdot5!}{5\cdot9!}={10\over63}\]
Pozdrawiam
PS. Nierozróżnialne litery ja bym potraktował permutacjami z powtórzeniami

[grdv10]

Wg mnie ludzie są rozróżnialni!...

Głęboko zastanawiałem się nad tym zanim napisałem swoje rozwiązanie. Wiadomo, że bardzo często w obu modelach otrzymuje się te same wyniki. Postawiłem jednak na nierozróżnoalność - tak jak litery w wyrazie.

Argument za rozróżnialnością: każdy jest indywidualnością, ma imię, nazwisko, rodzinę...
Argumenty za nierozróżnialnością: patrząc na taką kolejkę z daleka, np. z okien autobusu czy tramwaju, nie jestem w stanie rozróżnić ludzi. No chyba po kolorze ubrania. Ponadto w tym ujęciu sprawa dość łatwo poddaje się analizie i jest wspomniana przeze mnie analogia ze słownikiem. Chyba przez nią właśnie zdecydowałem się na swoje rozwiązanie.

Jak widać, i w matematyce istnieje przestrzeń na interpretację.