Wybieramy Losowo liczbę naturalną ośmiocyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma cyfr tej liczby jest równa

[Pamix]

Witam mam problem z następującym zadaniem
Wybieramy Losowo liczbę naturalną ośmiocyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma cyfr tej liczby jest równa 5, jeśli wiadomo, że w zapisie liczby nie występują cyfry większe od 3
Poprawna odpowiedź: \(3.5\cdot10^{-6}\)

Moje rozwiązanie które nie wiem dlaczego jest błędne
A - zdarzenie opisujące że suma cyfr liczby jest równa 5
B - zdarzenie opisujące że w liczbie nie występują cyfry większe od 3
A\( \cap \)B - zdarzenie opisujące że suma cyfr liczby jest równa 5 oraz nie występują tam cyfry większe od 3
Możliwe cyfry to {0,1,2,3}

Najpierwy zajmijmy się ile jest zdarzeń B
Na pierwszym miejscu wybieramy pomiędzy cyfr {1,2,3} a na kolejnych siedmiu na każdym wybieramy spośród 4 zatem tych możliwości jest |B|=\(3*4^7\)
Teraz zajmijmy się ile jest zdarzeń A\( \cap \)B

I Przypadek - 5 razy używamy cyfry 1 oraz 3 razy 0
Na pierwszym miejscu musimy stawić jedynkę a następne 1 ustawiamy na \({7}\choose{4}\) czyli 35 sposobów
II Przypadek - Raz użyjemy 2 oraz raz użyjemy 3
2*7=14
III Przypadek - Trzy razy 1 oraz raz 2
a)zaczynające się od 1
\({7}\choose{2}\)*5=105
b)zaczynającie się od 2
\({7}\choose{3}\)=35
Zatem podsumowując III przypadek jest 140 możliwości
IV przypadek Dwa razy 1 i raz 3
a)zaczynające się od 1
7*6=42
b)zaczynające się od 3
\({7}\choose{2}\)=21
Podsumowujące IV przypadek jest 63 możliwości
V Przypadek - Dwa razy 2 i raz 1
a) zaczynając się od 2
7*6=42
b)zaczynające sie od 1
\({7}\choose{2}\)=21
Podsumowując V przypadek jest 63 możliwości

A\( \cap \)B = 35+14+140+63+63=315

Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe otrzymujemy że
\(P=\frac{|A \cap B|}{|B|} = \frac{315}{3\cdot4^7}\)

[Jerry]

Liczyłem trochę inaczej - przypadkami były cyfry rzędu najwyższego i ... wynik mam taki jak Twój (tylko uprościłem ułamek przez \(3\))

Pozdrawiam