prawdopodobieństwo całkowite

[hutsaloviaheslav1998]

1)Pierwsza urna zawiera 4 białe i jedną czarną kulę, druga 2 białe i 3 czarne. Losujemy urnę tak by szansa wybrania pierwszej urny była dwukrotnie mniejsza niż drugiej. Następnie z wybranej urny losujemy kulę.Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej?.
Ok to może inaczej zróbmy. Udało mi się przed chwilą znaleźć rozwiązanie w necie w następującej postaci:

.
Chciałbym na podstawie tego rysunku co jest wyżej dowiedzieć się jak to wyliczyć. Dziękuje

[eresh]

1)Pierwsza urna zawiera 4 białe i jedną czarną kulę, druga 2 białe i 3 czarne. Losujemy urnę tak by szansa wybrania pierwszej urny była dwukrotnie mniejsza niż drugiej. Następnie z wybranej urny losujemy kulę.Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej?.
Ok to może inaczej zróbmy. Udało mi się przed chwilą znaleźć rozwiązanie w necie w następującej postaci:
Scan9.jpg.
Chciałbym na podstawie tego rysunku co jest wyżej dowiedzieć się jak to wyliczyć. Dziękuje

wybór urny:
\(P(I)=\frac{1}{3}\\
P(II)=\frac{2}{3}\)

jeśli wybierzemy urnę pierwszą, to prawdopodobieństwo wylosowania z niej kuli białej jest równe \(\frac{4}{4+1}=\frac{4}{5}\), a jeśli wybierzemy urnę drugą, to to prawdopodobieństwo jest równe \(\frac{2}{5}\)
korzystając z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym:
\(P(A)=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{5}+\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{5}\)

[Jerry]

Chciałbym [...] dowiedzieć się jak to wyliczyć.

No to piszmy...

1. Niech \(H_i\) oznacza hipotezę: losujemy kulę z \(i\)-tej urny, \(i\in\{1,2\}\); \(S\) oznacza ostateczne wylosowanie białej kuli. Wtedy
   \(\begin{cases}H_1\cap H_2=\emptyset\\ H_1\cup H_2=\Omega_0\\ p(H_2)=2p(H_1)\end{cases}\So\begin{cases}p(H_1)={1\over3}\\ p(H_2)={2\over3}\end{cases}\)
2. • Jeśli zaszła \(H_1\), to \(\begin{cases}|\Omega_1|=5\\ |S/H_1|=4\end{cases}\So p(S/H_1)={4\over5}\)
   • Jeśli zaszła \(H_2\), to \(\begin{cases}|\Omega_2|=5\\ |S/H_2|=2\end{cases}\So p(S/H_2)={2\over5}\)

Wobec zupełności układu hipotez, z tw. o p-wie całkowitym:
\[p(S)=p(S/H_1)\cdot p(H_1)+p(S/H_2)\cdot p(H_2)=\ldots\]
Pozdrawiam

[edited] znowu... Pozdrawiam, eresh, serdecznie