Wartość oczekiwana, wariancja bez wyznaczania rozkładu zmiennej losowej Y

[szylvviaa]

Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa:
P(X=-2)=0.1
P(X=-1)=0.2
P(X=0)=0.3
P(X=2)=0.2
P(X=3)=0.2

Obliczyć wartość oczekiwaną oraz wariancję gdy Y=x*x-1 bez wyznaczania rozkładu zmiennej losowej Y.

[grdv10]

Jeśli zmienna losowa \(X\) ma rozkład \((x_k,p_k)\), a \(f(x)\) jest funkcją, to \[Ef(X)=\sum_kf(x_k)p_k.\]W naszym przypadku \(Y=X^2-1\), więc \(f(x)=x^2-1.\)Dlatego\[EY=\sum_k(x_k^2-1)p_k.\]Podobnie wariancja:\[E(Y^2)=\sum_k(x_k^2-1)^2p_k\]oraz zwyczajnie\[D^2Y=E(Y^2)-(EY)^2.\]Odp. \(EY=2.2,\ D^2Y=10.96.\)