Rzut symetryczną monetą

[A731ox]

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższego zadania:

Rozważmy następującą grę: rzucamy symetryczną monetą, aż pojawi się reszka. Jeśli reszka pojawia się w \(n\)-tym rzucie, wygrywamy \((1,5)^n\) dolarów. Jaka jest rozsądna cena za udział w tej grze? Jaka by była, jeśli zysk za orła w \(n\)-tym rzucie wynosiłby \(2^n\) dolarów?

[grdv10]

Jednym słowem wygrywamy \((1.5)^n\) zł z prawdopodobieństwem \(\frac{1}{2^n}\). Tak więc wartość średnia tej gry wynosi\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1.5)^n}{2^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^n=3.\]I to jest rozsądna cena za udział w grze.

W drugim przypadku mamy w liczniku \(2^n\), więc jest suma nieskończenie wielu jedynek, czyli szereg rozbieżny do nieskończoności. Nasza wygrana będzie duża, więc ta gra warta jest każdej ceny.