Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zadanie z losami

[pomiatacz]

W urnie znajduje się 80 losów, wśród których mogą być 4 lub 5 losy wygrywające (jedna z tych liczb, ale nie wiadomo która), przy czym wszystkie te ilości losów wygrywających są jednakowo prawdopodobne.
- Losujemy 4 losy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych losów jest 1 los wygrywający. (Wydaje mi się że po prostu \( 1/4\))
- Jakie jest prawdopodobieństwo, że w urnie było 6 losów wygrywających, jeżeli wśród wylosowanych losów był 1 los wygrywający?
- Hipoteza \(H_k\) oznacza, że trafiła się urna z \(N_k\) losami wygrywającymi.
- Rozwiązanie omówić i podać przybliżony wynik.

[panb]

W urnie znajduje się 80 losów, wśród których mogą być 4 lub 5 losy wygrywające (jedna z tych liczb, ale nie wiadomo która), przy czym wszystkie te ilości losów wygrywających są jednakowo prawdopodobne.
- Losujemy 4 losy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych losów jest 1 los wygrywający. (Wydaje mi się że po prostu \( 1/4\))

Nie, jedna czwarta to nie będzie.
Ważna informacja:"ilości losów wygrywających są jednakowo prawdopodobne" oznacza, że \(P(W=4)=P(W=5)=0,5\)
\(p=P(L=1|W=4)\cdot P(W=4)+P(L=1|W=5)\cdot P(W=5)\)

Teraz te warunkowe trzeba policzyć.
\(P(L=1|W=4)\) oznacza prawdopodobieństwo, że wśród czterech wylosowanych jest jeden wygrywający przy założeniu, że w urnie są 4 wygrywające. Wobec tego \(\displaystyle P(L=1|W=4)= \frac{{4\choose 1}\cdot {76 \choose 3}}{{80\choose 4}}= \frac{14060}{79079}\approx 0,18 \).
Podobnie \(\displaystyle P(L=1|W=5)= \frac{{5\choose 1}\cdot {75 \choose 3}}{{80\choose 4}}= \frac{17575}{79079}\approx 0,22 \)

Wstawiasz do wzoru i masz odpowiedź.

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych losów jest 1 los wygrywający jest równe 20%