Zadanie z kostkami.

[gr4vity]

Osiem kostek zostało rzuconych, jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadły wszystkie wartości od \(1\) do \(6\)?
Czy tak zrobione zadanie jest okej?:
\(| \Omega |=6^8\)
\(A\)-zdarzenie polegające na wypadnięciu wszystkich wartości od \(1\) do \(6\)
Sprawdzam jakie pary dwóch liczb mogą dodatkowo wypaść do podstawowej szóstki.
\((11;22;33;44;55;66;12;13;14;15;16;23;24;25;26;34;35;36;45;46;56)\)
\(A_1\) - rozpatruje te możliwości w których do podstawowej szóstki dostaję dodatkowo dwie jednakowe liczby \((11;22;33;44;55;66)\)
\(|A_1|= { 8\choose 3} \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 6= 40 320 \)
\(A_2\)- rozpatruje te możliwości w który do podstawowej szóstki dostaję dodatkowo dwie jednakowe liczby \((12;13;14;15;16;23;24;25;26;34;35;36;45;46;56)\)
\(|A_2|= {8 \choose 2} \cdot {6 \choose 2}\cdot 4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot15=151 200 \)
\(P(A)= \frac{40320+151200}{6^8} \)
Z góry dziękuję za poświęcony czas!

[Jerry]

Wg mnie - OK.

Zasada włączeń i wyłączeń może ułatwić rozwiązanie takiego problemu:
Niech \(A'\) oznacza zdarzenie przeciwne do danego. Oznacza to, że "zabrakło" jednej lub dwóch lub ... lub pięciu wartości. Czyli
\(|A'|={6\choose1}\cdot5^8-{6\choose2}\cdot4^8+{6\choose3}\cdot3^8-{6\choose4}\cdot2^8+{6\choose5}\cdot1^8\)

Pozdrawiam

[kerajs]

A_1 jedna z cyfr wystąpiła trzykrotnie
A_2 dwie cyfry wystąpiły dwukrotnie
\(|A|=|A_1|+|A_2|= { 6\choose 1} { 8\choose 3}5!+{ 6\choose 2} { 8\choose 4} \frac{4!}{2!2!} 4! \)