Wiek użytkowników - prawdopodobieństwo

[Lemon_1998]

Na świecie, w przybliżeniu, mamy miliard użytkowników smartfonów. W Stanach Zjednoczonych, wiek użytkowników smartfonów w grupie 13 do 55+ w przybliżeniu ma rozkład normalny o średniej 36.9 lat i odchyleniu standardowym 13.9 lat odpowiednio.
• Określ prawdopodobieństwo, że losowo wybrany użytkownik smartfona w grupie wiekowej 13 do 55+ jest ma pomiędzy 23 i 64.7 lat.
• Określ prawdopodobieństwo, że losowo wybrany użytkownik smartfona w grupie wiekowej 13 do 55+ lat ma nie więcej niż 50.8 lat.
• Wyznacz przedział wiekowy, w którym jest 20% najstarszych użytkowników smartfonów w grupie 13 do 55+.


Modeluję (wiek) zmienną X o rozkładzie normalnym o średniej 36.9 lat i odchyleniu standardowym 13.9 lat.
• P( 23<x<64.7 )
• P( 13<x<50.8 )

[panb]

Na świecie, w przybliżeniu, mamy miliard użytkowników smartfonów. W Stanach Zjednoczonych, wiek użytkowników smartfonów w grupie 13 do 55+ w przybliżeniu ma rozkład normalny o średniej 36.9 lat i odchyleniu standardowym 13.9 lat odpowiednio.
• Określ prawdopodobieństwo, że losowo wybrany użytkownik smartfona w grupie wiekowej 13 do 55+ jest ma pomiędzy 23 i 64.7 lat.
• Określ prawdopodobieństwo, że losowo wybrany użytkownik smartfona w grupie wiekowej 13 do 55+ lat ma nie więcej niż 50.8 lat.
• Wyznacz przedział wiekowy, w którym jest 20% najstarszych użytkowników smartfonów w grupie 13 do 55+.


Modeluję (wiek) zmienną X o rozkładzie normalnym o średniej 36.9 lat i odchyleniu standardowym 13.9 lat.
• P( 23<x<64.7 )
• P( 13<x<50.8 )

To już było ze 100 razy:
\(P(23<X<64.7)=P \left( \frac{23-36.9}{13.9} < \frac{X-36.6}{13.9} < \frac{64.7-36.9}{13.9} \right) =P(-1<U<2), \text{ gdzie } U\sim N(0,1)\\
P(23<X<64.7)=\Phi(2)-\Phi(-1)=\Phi(2)-(1-\Phi(1))=\Phi(1)+\Phi(2)-1=\\ \qquad =0,84134+0,97725-1\approx 82\%\)

Wartości \(\Phi(x)\) brałem z tablic znajdujących się tutaj.

Drugi podpunkt spróbuj samodzielnie.

[Lemon_1998]

Drugi podpunkt:
\(P(13<X<50.8 )=P \left( \frac{13-36.9}{13.9} < \frac{X-36.6}{13.9} < \frac{50.8-36.9}{13.9} \right) =P(-1.7<U<1), \text{ gdzie } U\sim N(0,1)\\
P(13<X<50.8 )=\Phi(1)-\Phi(-1.7)=\Phi(1)-(1-\Phi(1.7))=\Phi(1.7)+\Phi(1)-1=\\ \qquad=0,95543+0,84134-1=0,79677\approx 80\%\)

[panb]

Tak jest.
Trzeci punkt można zinterpretować tak: szukamy takiego x, żeby \(P(X>x)=20\%=0,2\)
\(0,2=P(X>x)=1-P(X\le x)=1-P \left( \frac{X-36.9}{13.9} \le \frac{x-36.9}{13.9}\right)=1- \Phi \left( \frac{x-36.9}{13.9} \right) \)
czyli \[1- \Phi \left( \frac{x-36.9}{13.9}\right)=0,2 \So \Phi \left( \frac{x-36.9}{13.9}\right)=0,8\]
W tablicach znajdziesz, że \(\Phi(0,84)\approx 0,8\), więc \( \left( \frac{x-36.9}{13.9}\right)=0,8 \So x\approx 52\)

No więc,

Odpowiedź: przedział wiekowy, w którym jest 20% najstarszych użytkowników smartfonów w grupie 13 do 55+, to 52 do 55+