Proszę o pomoc.
1. W urnie jest x kul czerwonych i y zielonych. Losujemy kule bez zwracania.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że za n tym razem wylosujemy kulę zieloną?
2. Mamy w urnie sześć kul. trzy czerwone nierozróżnialne, 1 białą, 1 czarna i 1 niebieską.
Ile jest sposobów ułożenia z nich szeregu zawierającego cztery kule?
zadanie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3512
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1923 razy
Re: zadanie
Wśród nich mogą być cztery albo trzy albo dwie albo jedna kula czerwona, zatem
\(1+{3\choose1}\cdot{4!\over3!1!}+{3\choose2}\cdot{4!\over2!1!1!}+{3\choose3}\cdot4!=\ldots\)
Pozdrawiam
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1506
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 399 razy
Re: zadanie
Zadanie 1
Wszystkie kule znajdujące się w urnie mają jednakową szansę wylosowania
Oznaczamy przez
\( H_{i}, \ \ i = 0,1,2,...,n-1 \) zdarzenie, "że w pierwszych \( n-1 \) losowaniach wylosowano dokładnie \( i \) kul zielonych"
\( Z_{n} \) wylosowanie kuli zielonej w \( n \) - tym losowaniu
\( Z_{n+1} \) - wylosowanie kuli zielonej w \( n+1 \) losowaniu.
Zdarzenia \( \{ H_{i} \} \) tworzą układ zupełny zdarzeń.
Ze wzoru na prawdopodobieństwo zupełne (całkowite)
\( P(Z_{n}) = \sum_{i=0}^{n-1} P(B_{n}|H_{i}) \cdot P(H_{i}) \)
Zdarzenie \( Z_{n+1} \) można przedstawić w postaci
\( Z_{n+1} Z_{n} + Z_{n+1} \overline{Z_{n}} \)
Stosując ponownie wzór na prawdopodobieństwo całkowite
\( P(Z_{n+1}) = \sum_{i=0}^{n-1} P(Z_{n+1}Z_{n}|H_{i})P(H_{i}) + \sum_{i=0}^{n-1}P(Z_{n+1} \overline{Z_{n}}|H_{i})P(H_{i})\)
Prawdopodobieństwa warunkowe
\( P(Z_{n}|H_{i}) = \frac{x - i}{y + x -(n-1)} \)
\( P(Z_{n+1} \overline {Z_{n}}|H_{i}) = \frac{(x -n +i +1)(y -i)}{(y + x -n +1)(x +y -n)} \)
\( P(Z_{n+1} Z_{n}) = \frac{(y -i)(y - i -1)}{(y+x-n -1)(y + x - n)} \)
Zatem
\(P(Z_{n+1} Z_{n})|H_{i}) + P(Z_{n+1}\overline{Z_{n}}|H_{i}) = P(Z_{n}|H_{i})\).
Po podstawieniu do wzoru na prawdopodobieństwo \( P(Z_{n+1}) \) otrzymujemy \( P(Z_{n+1}) = P(Z_{n}) \)
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej w pierwszym losowaniu jest równe \( \frac{y}{x+y} \) , tym samym prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej w \( n \) losowaniu jest równe \( \frac{y}{x+y}. \)
Wszystkie kule znajdujące się w urnie mają jednakową szansę wylosowania
Oznaczamy przez
\( H_{i}, \ \ i = 0,1,2,...,n-1 \) zdarzenie, "że w pierwszych \( n-1 \) losowaniach wylosowano dokładnie \( i \) kul zielonych"
\( Z_{n} \) wylosowanie kuli zielonej w \( n \) - tym losowaniu
\( Z_{n+1} \) - wylosowanie kuli zielonej w \( n+1 \) losowaniu.
Zdarzenia \( \{ H_{i} \} \) tworzą układ zupełny zdarzeń.
Ze wzoru na prawdopodobieństwo zupełne (całkowite)
\( P(Z_{n}) = \sum_{i=0}^{n-1} P(B_{n}|H_{i}) \cdot P(H_{i}) \)
Zdarzenie \( Z_{n+1} \) można przedstawić w postaci
\( Z_{n+1} Z_{n} + Z_{n+1} \overline{Z_{n}} \)
Stosując ponownie wzór na prawdopodobieństwo całkowite
\( P(Z_{n+1}) = \sum_{i=0}^{n-1} P(Z_{n+1}Z_{n}|H_{i})P(H_{i}) + \sum_{i=0}^{n-1}P(Z_{n+1} \overline{Z_{n}}|H_{i})P(H_{i})\)
Prawdopodobieństwa warunkowe
\( P(Z_{n}|H_{i}) = \frac{x - i}{y + x -(n-1)} \)
\( P(Z_{n+1} \overline {Z_{n}}|H_{i}) = \frac{(x -n +i +1)(y -i)}{(y + x -n +1)(x +y -n)} \)
\( P(Z_{n+1} Z_{n}) = \frac{(y -i)(y - i -1)}{(y+x-n -1)(y + x - n)} \)
Zatem
\(P(Z_{n+1} Z_{n})|H_{i}) + P(Z_{n+1}\overline{Z_{n}}|H_{i}) = P(Z_{n}|H_{i})\).
Po podstawieniu do wzoru na prawdopodobieństwo \( P(Z_{n+1}) \) otrzymujemy \( P(Z_{n+1}) = P(Z_{n}) \)
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej w pierwszym losowaniu jest równe \( \frac{y}{x+y} \) , tym samym prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej w \( n \) losowaniu jest równe \( \frac{y}{x+y}. \)
Ostatnio zmieniony 15 kwie 2021, 22:19 przez janusz55, łącznie zmieniany 2 razy.
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1506
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 399 razy
Re: zadanie
Łatwiejszym schematem Poly'a losowania bez zwracania kul z urny jest schemat oparty na doświadczeniu losowym, polegającym na otrzymaniu po raz pierwszy kuli zielonej w \( n \) tym losowaniu.