3 Zadania z Prawdopodobieństwa Statystyka matematyczna

[Shironen]

1.Niech A oznacza, że liczba wyrzuconych oczek jest mniejsza niż 5, natomiast B oznacza, że wyrzucono parzystą liczbę oczek. Zbadaj
niezależność zdarzeń A i B.
2. Rzut dwoma kośćmi. Wyniki to zbiór (x,y), x,y=1,…..,6.
Niech A oznacza, że suma wyrzuconych oczek jest mniejsza niż 4, natomiast B oznacza, że suma wyrzuconych oczek jest parzysta. Zbadaj
niezależność zdarzeń A i B.
3. W jednej urnie mamy trzy kule białe i jedną czarną, a w drugiej dwie białe i jedna czarną.
Losujemy urnę, a potem kulę. Obliczyć prawdopodobieństwo
a) wylosowania białej kuli
b) wylosowania urny o składzie 3:1, jeśli wiadomo, że wylosowana kula jest biała.
Ktoś pomoże?

[eresh]

1.Niech A oznacza, że liczba wyrzuconych oczek jest mniejsza niż 5, natomiast B oznacza, że wyrzucono parzystą liczbę oczek. Zbadaj
niezależność zdarzeń A i B.

\(A=\{1,2,3,4\}\\
P(A)=\frac{4}{6}\\
B=\{2,4,6\}\\
P(B)=\frac{3}{6}\\
A\cap B=\{2,4\}\\
P(A\cap B)=\frac{2}{6}\\
P(A)P(B)=\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{6}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}=P(A\cap B)\)
zdarzenia są niezależne

[eresh]

2. Rzut dwoma kośćmi. Wyniki to zbiór (x,y), x,y=1,…..,6.
Niech A oznacza, że suma wyrzuconych oczek jest mniejsza niż 4, natomiast B oznacza, że suma wyrzuconych oczek jest parzysta. Zbadaj
niezależność zdarzeń A i B.

\(A=\{11,12,21\}\\
P(A)=\frac{3}{36}\\
B=\{11,13,15,22,24,26,31,33,35,42,44,46,51,53,55,62,64,66\}\\
P(B)=\frac{18}{36}\\
A\cap B=\{11\}\\
P(A\cap B)=\frac{1}{36}\\
P(A)P(B)=\frac{3}{36}\cdot\frac{18}{36}=\frac{1}{24}\neq P(A\cap B)\)
zdarzenia nie są niezależne

[eresh]

3. W jednej urnie mamy trzy kule białe i jedną czarną, a w drugiej dwie białe i jedna czarną.
Losujemy urnę, a potem kulę. Obliczyć prawdopodobieństwo
a) wylosowania białej kuli

\(P(A)=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\\
P(A)=\frac{3}{8}+\frac{1}{3}\\
P(A)=\frac{17}{24}\)

[eresh]

3. W jednej urnie mamy trzy kule białe i jedną czarną, a w drugiej dwie białe i jedna czarną.
Losujemy urnę, a potem kulę. Obliczyć prawdopodobieństwo

b) wylosowania urny o składzie 3:1, jeśli wiadomo, że wylosowana kula jest biała.
Ktoś pomoże?

A - wylosowano urnę 3:1
B - wylosowano kulę białą

\(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\\
P(A|B)=\frac{0,5\cdot \frac{3}{4}}{0,5\cdot\frac{3}{4}+0,5\cdot\frac{2}{3}}\\
P(A|B)=\frac{\frac{3}{8}}{\frac{17}{24}}\\
P(A|B)=\frac{9}{17}\)