Dwa zakłady firmy dostarczają żarówki

[Januszgolenia]

Dwa zakłady należące do tej samej firmy, dostarczają do sklepu żarówki energooszczędne. Pierwszy zakład dostarcza cztery razy więcej żarówek niż drugi. W pierwszym z tych zakładów średnio 4 żarówki na 1000 wyprodukowanych, a w drugim 8 na 1000 ma wady (tzn. psują się w okresie gwarancji). Klient kupił żarówkę, na której był tylko znak firmy, a nie zakładu, który ją wyprodukował. Żarówka ta w okresie gwarancji zepsuła się. Oblicz prawdopodobieństwo, że została wyprodukowana w pierwszym zakładzie.

[janusz55]

Wzór Bayesa na prawdopodobieństwo " a priori - a posteriori "

\( P(I|Z) = \frac{P(I)\cdot P(Z|I)} { P(I) \cdot P(Z|I) + P(II)\cdot P(Z|II)}. \)

[kerajs]

B- Żarówka w okresie gwarancji się zepsuła
A_1-Żarówka wyprodukowana w pierwszym zakładzie
A_2-Żarówka wyprodukowana w drugim zakładzie
\(P(B_1|A)= \frac{P(A_1 \cap B)}{P(B)}= \frac{P(A_1 \cap B)}{P(A_1 \cap B)+P(A_2 \cap B)}=
\frac{ \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{1000} }{\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{1000}+\frac{1}{5} \cdot \frac{8}{1000}}\)

[janusz55]

\( P(I) = \frac{4}{5}, \ \ P(Z|I) = \frac{4}{1000}, \ \ P(II) = \frac{1}{5}, \ \ P(Z|II) = \frac{8}{1000}. \)