W pociągu są 2 ponumerowane wagony w każdym wagonie są 2 ławki po 3 miejsca. Ile jest możliwości ułożenia 8 pasażerów tak aby tylko jedna ławka była zajęta w całości.
Bardzo proszę o pomoc
Zrobiłem to w ten sposób czy jest okej?: \( {8 \choose3 }*4*3!*{5 \choose1 }*3*3* {4 \choose2 }*2*(3*2)*{2 \choose2 }*2*3\)
Wybór trzech osób z ośmiu*wybór ławki dla nich* zamiana ich na miejscach * wybór jednej osoby z pięciu*wybór dla niej ławki * wybór dla niej miejsca * wybór dwóch osób z czterech * wybór dla nich ławki * rozmieszczenie dwóch osób na trzech miejscach * wybór dwóch osób z dwóch * rozmieszczenie dwóch osób na trzech miejscach.
Moim zdaniem podwójnie zliczasz te same ustawienie tutaj:
''wybór dwóch osób z czterech * wybór dla nich ławki * rozmieszczenie dwóch osób na trzech miejscach * wybór dwóch osób z dwóch * rozmieszczenie dwóch osób na trzech miejscach.''
więc uzyskany wynik podzieliłbym przez 2.
Ciut inaczej:
Wybierz wpierw 8 miejsc które będą zajęte, a pasażerowie usiądą na 8! sposobów.
kerajs pisze: ↑11 kwie 2021, 09:13
Moim zdaniem podwójnie zliczasz te same ustawienie tutaj:
''wybór dwóch osób z czterech * wybór dla nich ławki * rozmieszczenie dwóch osób na trzech miejscach * wybór dwóch osób z dwóch * rozmieszczenie dwóch osób na trzech miejscach.''
Mógłbyś proszę sprecyzować które konkretnie przypadki zliczam podwójnie? Jeżeli chodzi o fragment wybór dwóch osób z dwóch to jest to i tak policzone razy jeden.
Albo:
Przyjmuję, że osoby, ławki oraz miejsca na ławkach są rozróżnialne
Pasażerowie mogą (hint kerajsa jest bardzo istotny!):
-) siedzieć dowolnie - \({12\choose8}\cdot 8!\)
w tym
-) zająć dwie "pełne" ławki - \({4\choose2}\cdot {8\choose2}\cdot 8! \), bo wybrałem ławki i z pozostałych miejsc dwa
albo
-) zająć jedną "pełną" ławkę - szukane
albo
-) siedzieć po dwoje na ławkach - \({3\choose2}^4\cdot 8!\) , bo na każdej ławce wybrałem dwa miejsca
Pozostają rachunki...
Pozdrawiam
PS. Pisz, proszę, dla mnożenia \cdot , post zyska na czytelności!
Moim zdaniem dublujesz zdarzenia podczas wybierania ławek z dwoma zajętymi miejscami.
Chodzi mi o fragment:
'' \( ... *{4 \choose2 }*2*(3*2)*{2 \choose2 }*2*3\)
...* wybór dwóch osób z czterech * wybór dla nich ławki * rozmieszczenie dwóch osób na trzech miejscach * wybór dwóch osób z dwóch * rozmieszczenie dwóch osób na trzech miejscach.''
Niech osobami będą A, B, C i D a ławki mają numery 1 i 2.
Załóżmy że wybrałeś A i B którzy mogą usiąść w ławce 1 (wtedy C i D zajmują ławkę 2) lub w ławce 2 (wtedy C i D zajmują ławkę 1), Jednak liczysz także zdarzenia gdzie wybrałeś C i D, którzy mogą usiąść w ławce 1 (wtedy A i B zajmują ławkę 2) lub w ławce 2 (wtedy A i B zajmują ławkę 1). Stąd podwójne zliczanie tych samych zdarzeń.
PS W pociągu są 2 ponumerowane wagony w każdym wagonie są 2 ławki po 3 miejsca.
Po co w zadaniu jest informacja o numerowaniu wagonów, i gdzie należy ją wykorzystać?
kerajs pisze: ↑11 kwie 2021, 16:37
Niech osobami będą A, B, C i D a ławki mają numery 1 i 2.
Załóżmy że wybrałeś A i B którzy mogą usiąść w ławce 1 (wtedy C i D zajmują ławkę 2) lub w ławce 2 (wtedy C i D zajmują ławkę 1), Jednak liczysz także zdarzenia gdzie wybrałeś C i D, którzy mogą usiąść w ławce 1 (wtedy A i B zajmują ławkę 2) lub w ławce 2 (wtedy A i B zajmują ławkę 1). Stąd podwójne zliczanie tych samych zdarzeń.
Nie wiem czy dobrze się rozumiemy, ten iloczyn końcowy u mnie \(2 \cdot 3\) nie oznacza wyboru ławki dla ostatniej pary, ponieważ ona już nie ma wyboru. Ten iloczyn oznacza rozmieszczenie tych dwóch osób na ławce z trzema miejscami.
kerajs pisze: ↑11 kwie 2021, 16:37 W pociągu są 2 ponumerowane wagony w każdym wagonie są 2 ławki po 3 miejsca.
Po co w zadaniu jest informacja o numerowaniu wagonów, i gdzie należy ją wykorzystać?
Również nie wiem po co ta informacja, moim zdaniem nic ona nie wnosi do zadania.
Jak powinien wyglądać iloczyn możliwości z wykorzystaniem tego sposobu w którym zaczynam od \(8!\) a później wybieram miejsca?
Przeliczę to chętnie i sprawdzę o ile się będzie różnił wynik. Być może wyjdą identyczne.
kerajs pisze: ↑11 kwie 2021, 16:37
Niech osobami będą A, B, C i D a ławki mają numery 1 i 2.
Załóżmy że wybrałeś A i B którzy mogą usiąść w ławce 1 (wtedy C i D zajmują ławkę 2) lub w ławce 2 (wtedy C i D zajmują ławkę 1), Jednak liczysz także zdarzenia gdzie wybrałeś C i D, którzy mogą usiąść w ławce 1 (wtedy A i B zajmują ławkę 2) lub w ławce 2 (wtedy A i B zajmują ławkę 1). Stąd podwójne zliczanie tych samych zdarzeń.
Nie wiem czy dobrze się rozumiemy, ten iloczyn końcowy u mnie \(2 \cdot 3\) nie oznacza wyboru ławki dla ostatniej pary, ponieważ ona już nie ma wyboru. Ten iloczyn oznacza rozmieszczenie tych dwóch osób na ławce z trzema miejscami.
Zgadza się, ale moim zdaniem zbędny jest fragment: ''* wybór dla nich ławki * ''
występujący w ''.... * wybór dwóch osób z czterech * wybór dla nich ławki * rozmieszczenie dwóch osób na trzech miejscach ....''
kerajs pisze: ↑11 kwie 2021, 16:37 W pociągu są 2 ponumerowane wagony w każdym wagonie są 2 ławki po 3 miejsca.
Po co w zadaniu jest informacja o numerowaniu wagonów, i gdzie należy ją wykorzystać?
Również nie wiem po co ta informacja, moim zdaniem nic ona nie wnosi do zadania.
Tak, ona jest zbędna.
gr4vity pisze: ↑11 kwie 2021, 16:52
Jak powinien wyglądać iloczyn możliwości z wykorzystaniem tego sposobu w którym zaczynam od \(8!\) a później wybieram miejsca?
Przeliczę to chętnie i sprawdzę o ile się będzie różnił wynik. Być może wyjdą identyczne.
kerajs pisze: ↑11 kwie 2021, 17:02
Zgadza się, ale moim zdaniem zbędny jest fragment: ''* wybór dla nich ławki * ''
występujący w ''.... * wybór dwóch osób z czterech * wybór dla nich ławki * rozmieszczenie dwóch osób na trzech miejscach ....''
Jezu faktycznie, teraz już chyba rozumiem.
Jeżeli mam dwie ławki i z czterech osób wybieram dwie na \( {4 \choose 2} \) sposobów, to nie rozdzielam ich na dwie ławki ponieważ zawsze druga para idzie na pozostałą a w kombinacji \({4 \choose 2}\) rozważam już wszystkie pary \((AB,AC,AD,BC,BD...)\)
Czy dobrze to zinterpretowałem?
Przeliczyłem również twoim sposobem i wychodzi wynik identyczny co mój po podzieleniu przez 2.
