Ilość sposobów wyciągnięcia kul z pojemnika

[tyk3]

Dzień dobry,

Mam takie zadanie:
W pojemniku jest 5 kul białych i 4 czarne. Na ile sposobów można wyjąć z pojemnika 3 kule, tak, aby otrzymać:
a) 3 kule białe
b) 3 czarne
c) 2 białe i 1 czarną
d) co najmniej 1 białą

Odpowiedzi do tego zadania to:
a) \( { 5 \choose 3} \)

b) \( { 4 \choose 3} \)

c) \( { 5 \choose 2} \cdot { 4 \choose 1} \)

d) \( { 5 \choose 1} \cdot { 4 \choose 2} + { 5 \choose 2} \cdot { 4 \choose 1} + { 5 \choose 3}\)

Mam również 2 pytania:
1) Czy w domyśle przyjmujemy, że te kule są rozróżnialne ( poza kolorami ), a więc mają na sobie jakieś liczby? Wydaje mi się, że dla nierozróżnialnych byłby po prostu 1 sposób wyciągnięcia ( nie widziałbym różnicy między jedną trójką białych, a inną trójką białych ).
2) Załóżmy, że w tym zadaniu kule byłyby rozróżnialne. Czy zakłada się w domyśle, że wyciągamy wszystkie naraz? A więc mamy kombinacje? Gdybyśmy wyciągali 3, ale jedna po drugiej to powstałyby ciągi, a więc wtedy byłaby ważna kolejność.

Pozdrawiam

[panb]

Rozwiązanie poprawne.
A co do pytań:
1. Po prostu nie liczy się kolejność. Podobnie przy rzucie 2 monetami (na raz) są 4, a nie 3 możliwości. Zgodzisz się przecież, że wypadnięcie OR może się zdarzyć na swa sposoby chociaż rzucamy na raz dwiema monetami.
2. Tak, masz rację.

[tyk3]

Rozwiązanie poprawne.
A co do pytań:
1. Po prostu nie liczy się kolejność. Podobnie przy rzucie 2 monetami (na raz) są 4, a nie 3 możliwości. Zgodzisz się przecież, że wypadnięcie OR może się zdarzyć na swa sposoby chociaż rzucamy na raz dwiema monetami.
2. Tak, masz rację.

Przede wszystkim dziękuję za odpowiedź. Plus.

Zakładam, że odpowiedziałeś na moje pytanie w kolejności, a nie jest to po prostu luźna lista uwag do obu.

Nie rozumiem za bardzo odpowiedzi na pytanie 1)

Załóżmy, że kule są ponumerowane i białym kulom przypadły numery 1-5. To rzeczywiście przy jednoczesnym ich wyciągnięciu ( i trafieniu 3 białych ) mam 10 kombinacji, bo zbiór {1,2,3} jest czymś innym niż zbiór {2,3,4}.

Jeżeli jednak kule nie są ponumerowane to załóżmy, że wyciągam 3 i akurat wszystkie są białe. Ok. Wrzucam je z powrotem. Losuję ponownie i znowu wszystkie są białe. Nie mam bladego pojęcia, czy tym razem trafiłem jakąś białą, której nie wylosowałem w losowaniu pierwszym. One wyglądają tak samo. Zatem dla mnie 3 białe kule można wyciągnąć tylko na jeden sposób gdy są one nierozróżnialne.

Mam w głowie zadanie o n nierozróżnialnych kulach i n nierozróżnialnych pudełkach. Na ile sposobów mogę włożyć wszystkie kule do pudełek tak, aby w każdym była jedna kula? Na 1 sposób. Nie wiem, czy jest to dobra analogia. Zakładam, że tak.

PS Przy monetach robimy właśnie to założenie, że są one rozróżnialne.

[panb]

Nie, monety są zwykle nierozróżnialne i takie miałem na myśli.
Nic lepszego niż przykład z monetami nie przychodzi mi do głowy.
Do ilości wszystkich możliwych przypadków w rzucie na raz 2 (nierozróżnialnymi) monetami zaliczamy: OO, OR, RO, RR.

[tyk3]

Jeżeli teraz poprosiłbym Cię o to samo dla rozróżnialnych to z pewnością też wypisałbyś OO, OR, RO, RR. Zatem wychodzi to samo, a jednak sytuacje są różne.

W realnym świecie przy prawdopodobieństwie rzeczywiście {O, R} wypada 2 razy częściej niż np. {O, O}. Jednak tutaj mówimy tylko o sposobach i nie interesuje nas, czy jakaś kombinacja pojawia się częściej.

Jeżeli zrobilibyśmy taki eksperyment, że mielibyśmy 2 identyczne monety, Ty miałbyś zasłonięte oczy i ja tylko Tobie mówiłbym, że wynikiem danego rzutu ( przez rzut rozumiem jednoczesny rzut dwoma monetami ) jest jeden orzeł oraz jedna reszka to nie wiedziałbyś, czy była sytuacja OR, RO ( ja również bym nie wiedział, bo podczas rzutu miałbym zasłonięte oczy, a potem zdejmował na chwilę opaskę, aby sprawdzić na podłodze, co wypadło ). Wiedziałbyś jedynie, że było { O, R }.

[Jerry]

... tutaj mówimy tylko o sposobach i nie interesuje nas, czy jakaś kombinacja pojawia się częściej.

Istnieje w kombinatoryce pojęcie kombinacji z powtórzeniami, nie ma jednak zastosowania w probabilistyce..

Pozdrawiam

[janusz55]

Kombinacje z powtórzeniami mają zastosowania nie tylko w kombinatoryce ale także w probabilistyce i statystyce.

W probabilistyce - modelowaniu doświadczeń losowych związanych z losowym wyborem i zwracaniem w statystyce w modelowaniu prób losowych związanych z wielokrotnym wyborem z tej samej populacji.