Prawdopodobieństwo-zadania.info

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
gr4vity
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 17 sty 2021, 18:12
Podziękowania: 196 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Prawdopodobieństwo-zadania.info

Post autor: gr4vity »

,,Z pudełka, w którym jest 13 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 13, losujemy bez zwracania 5 kul. Oblicz, jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul jest dokładnie jedna para kul z sumą numerów równą 14."
Dlaczego moje rozwiązanie jest błędne :/
\(| \Omega |[=13*12*11*10*9=154440\)
\(A\)- zdarzenie polegające na wylosowaniu 5 kul w których dokładnie jedna para jest z sumą numerów równą 14.
Pary składające się na 14. \((1,13), (2,12), (3,11), (4,10),(5,9), (6,8), \)
\(|A_1|= 5*4*11*9*7=13860\)
\(5\)-obsadzenie jedynki, \(4\)- obsadzenie 13, \(11\)-obsadzenie jednej z pozostałych kul z cyframi,\(9\)- obsadzenie jednej z pozostałych kul tak aby nie tworzyła ona z poprzednią pary sumującej się do 14. \(7\)- dobranie ostatniej kuli tak aby nie tworzyła ona sumy 14 z żadną inną.
\(|A|=6*|A_1|=83160\)
Nie będę kończył, bo wiem że na etapie wyliczenia \(|A_1|\) mam błąd, powinien wyjść mi wynik 14 400, aby wynik z odpowiedzi się zgadzał.
Byłbym bardzo wdzięczny jakby mógł ktoś wskazać przypadki które pominąłem :(
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3461
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Prawdopodobieństwo-zadania.info

Post autor: Jerry »

gr4vity pisze: 29 mar 2021, 17:51 ,,Z pudełka, w którym jest 13 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 13, losujemy bez zwracania 5 kul. Oblicz, jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul jest dokładnie jedna para kul z sumą numerów równą 14."
Wg mnie:
\(|\Omega|={13\choose5}\)
W danym zbiorze jest sześć par - wypisałeś - generujących żądaną sumę i sinlowa siódemka...
\(|A|={6\choose1}\cdot{5\choose3}\cdot 2^3+{6\choose1}\cdot{5\choose2}\cdot 2^2\cdot{1\choose1}\)
bo losuję parę, z pozostałych par trzy i z każdej z nich jedną z liczb albo losuję parę, z pozostałych par dwie i z każdej z nich po jednej liczbie oraz dokładam siódemkę.
Dalej - wiadomo...
gr4vity pisze: 29 mar 2021, 17:51 Dlaczego moje rozwiązanie jest błędne :/
Nie wiem, nie do końca ogarnąłem Twoje rachunki... intuicja podpowiada mi, że wprowadzając porządek w zbiorze zdarzeń elementarnych nie dopilnowałeś go w zdarzeniach

Pozdrawiam
PS. Liczę, że po doliczeniu miałbym jak w odpowiedzi :wink:
gr4vity
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 17 sty 2021, 18:12
Podziękowania: 196 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Prawdopodobieństwo-zadania.info

Post autor: gr4vity »

Okej, dziękuję za odpowiedź.
Masz jakąś generalnie radę jak rozróżniać kiedy wyliczać poprzez kombinacje a kiedy wariacje itd.
Chodzi o to, że w szkole byłem uczony, że jak kolejność nie ma znaczenia, czyli losujemy coś jednocześnie (np kolorowe piłeczki itd) to kombinacja, natomiast po kolei, uporządkowanie, bez zwracania, to wariacja z lub bez powtórzeń. W tym zadaniu zasugerowałem się słowem ,,bez zwracania'' i poszedłem w wariacje bez powtórzeń. Czy gdybym nie pogmatwał tego zadania to dałoby się dojść do wyniku? Czy przez samo ustalenie, że kolejność ma znaczenie, z góry wynik będzie inny?
PS: Zrobiłem to zadanie z kombinacji i wszystko się zgadza :)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3461
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Prawdopodobieństwo-zadania.info

Post autor: Jerry »

gr4vity pisze: 29 mar 2021, 20:51 Masz jakąś generalnie radę jak rozróżniać kiedy wyliczać poprzez kombinacje a kiedy wariacje itd.
Ogólnie rzecz biorąc jeżeli w tekście zadania nie ma "kolejno" / "zwracając za każdym razem", to nie wprowadzamy porządku. Można jednak to zrobić, ale w zdarzeniu ten porządek musi zostać zachowany! P-wo będzie takie samo...
gr4vity pisze: 29 mar 2021, 20:51 Czy gdybym nie pogmatwał tego zadania to dałoby się dojść do wyniku?
Tak. Spróbuj jeszcze raz... I pamiętaj, że siódemka nie ma pary :idea:
Np.
-) Z siódemką: ustal dla niej miejsce, wybierz parę, wybierz dla niej miejsce (pamiętaj, że mogą elementy pary się zamieniać), w pozostałe miejsca wstaw z pozostałych (ale nie do pary): \({5\choose1}\cdot{6\choose1}\cdot {4\choose2}\cdot 2!\cdot 10\cdot8\)
-) Bez siódemki: wybierz parę, ustal dla niej miejsce, w pozostałe miejsca wstaw z pozostałych (ale nie do pary): \({6\choose1}\cdot{5\choose2}\cdot2!\cdot10\cdot8\cdot6\)
Albo:
Wynik kombinacyjny wymnóż przez \(5!\) - elementy się nie powtarzają, czyli permutując je ustalisz porządek
gr4vity pisze: 29 mar 2021, 20:51PS: Zrobiłem to zadanie z kombinacji i wszystko się zgadza :)
:D

Pozdrawiam
ODPOWIEDZ