Zdania z kombinatoryki

[marek_if]

Zad. 1
Na ile sposobow mozna miedzy 3 osoby podzielic 3n roznych przedmiotow, tak, aby kazda otrzymala n przedmiotow?
Zad 2.Ile jest permutacji liczb 1,2, ..., n, w ktorych
a) 1,2 nie sasiaduja ze soba
b) 1,2,3 nie tworza kolejnych wyraz ́ow
Zad 3.Na przystanku autobusu wsiada grupa pasazerow skladajaca sie z szesciu kobiet i czterech mezczyzn. Ile istnieje wszystkich mozliwych sposobow wejscia pasazerow do autobusu, jezeli pierwsze wsiadaja kobiety, wszyscy wsiadaja tylko jednymi drzwiami i wsiadanie odbywa sie pojedynczo?
Zad 4.W miescie L przebudowano centrale telefoniczna czterocyfrowa wprowadzajac numery pieciocyfrowe. O ile osob moze sie zwiekszyc liczba abonentow (polaczen z zerem na poczatku nie uwzglednia sie)?
Zad 5.Winda zatrzymuje sie na 8 pietrach. Na ile sposobow moga opuscic winde 3 osoby?
Zad 6.Rzucamy trzema kostkami do gry. W ilu przypadkach otrzymamy na tych kostkach rozne liczby oczek?
Zad 7.W ciagu roku klient ma splacic 6 rownych rat miesiecznych. Iloma sposobami moze to uczynic?
Zad 8.Ile plaszczyzn mozna poprowadzic przez n punktow, z ktorych zadne cztery nie leza w jednej plaszczyznie?
Zad 9.Ile roznych warazow (majacych sens lub nie) mozna otrzymac przestawiajac litery w wyrazie ”kartka”?
Zad 10.Winda zatrzymuje sie na 11 pietrach. Na ile sposobow moga opuscic winde 4 osoby wysiadajace na roznych pietrach?
Zad 11.Ile liczb czterocyfrowych mozna utworzyc z cyfr liczby 135135?
Zad 12.W przedziale wagonu kolejowego ustawione sie naprzeciw siebie dwie lawki majace po piec numerowanych miejsc od 1 do 5. Do przedzialu wchodzi 10 osob. Na ile sposobow moga usiasc, jesli 3 osoby chca jechac zgodnie z kierunkiem jazdy, zas 4 siedzac tylem do kierunku jazdy?

[Jerry]

Zad. 1
Na ile sposobow mozna miedzy 3 osoby podzielic 3n roznych przedmiotow, tak, aby kazda otrzymala n przedmiotow?

\({3n\choose n}\cdot{2n\choose n}\cdot{n\choose n}\)
albo inaczej
\({(3n)!\over (n!)^3}\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Zad 2.Ile jest permutacji liczb 1,2, ..., n, w ktorych
a) 1,2 nie sasiaduja ze soba
b) 1,2,3 nie tworza kolejnych wyraz ́ow

a) \(n!-2!\cdot(n-1)!\)
b) \(n!-1!\cdot (n-2)!\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Zad 3.Na przystanku autobusu wsiada grupa pasazerow skladajaca sie z szesciu kobiet i czterech mezczyzn. Ile istnieje wszystkich mozliwych sposobow wejscia pasazerow do autobusu, jezeli pierwsze wsiadaja kobiety, wszyscy wsiadaja tylko jednymi drzwiami i wsiadanie odbywa sie pojedynczo?

\(6!\cdot 4!\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Zad 4.W miescie L przebudowano centrale telefoniczna czterocyfrowa wprowadzajac numery pieciocyfrowe. O ile osob moze sie zwiekszyc liczba abonentow (polaczen z zerem na poczatku nie uwzglednia sie)?

\(9\cdot10^4-9\cdot10^3\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Zad 5.Winda zatrzymuje sie na 8 pietrach. Na ile sposobow moga opuscic winde 3 osoby?

\(8^3\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Zad 6.Rzucamy trzema kostkami do gry. W ilu przypadkach otrzymamy na tych kostkach rozne liczby oczek?

\(6\cdot5\cdot4\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Zad 7.W ciagu roku klient ma splacic 6 rownych rat miesiecznych. Iloma sposobami moze to uczynic?

Jeśli nie połączy rat w jednym miesiącu, to \({12\choose6}\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Zad 8.Ile plaszczyzn mozna poprowadzic przez n punktow, z ktorych zadne cztery nie leza w jednej plaszczyznie?

Płaszczyznę wyznaczają trzy punkty, czyli \({n\choose3}\) dla \(n\in\nn\wedge n\ge3\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Zad 9.Ile roznych warazow (majacych sens lub nie) mozna otrzymac przestawiajac litery w wyrazie ”kartka”?

\({6!\over2!\cdot2!\cdot1!\cdot1!}\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Zad 10.Winda zatrzymuje sie na 11 pietrach. Na ile sposobow moga opuscic winde 4 osoby wysiadajace na roznych pietrach?

\(11\cdot10\cdot9\cdot8\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Zad 12.W przedziale wagonu kolejowego ustawione sie naprzeciw siebie dwie lawki majace po piec numerowanych miejsc od 1 do 5. Do przedzialu wchodzi 10 osob. Na ile sposobow moga usiasc, jesli 3 osoby chca jechac zgodnie z kierunkiem jazdy, zas 4 siedzac tylem do kierunku jazdy?

Przyjmuję, że konkretne osoby mają swoje preferencje...
\((5\cdot4\cdot3)\cdot(5\cdot4\cdot3\cdot2)\cdot3\cdot2\cdot1\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Zad 11.Ile liczb czterocyfrowych mozna utworzyc z cyfr liczby 135135?

W liczbach musi się powtarzać jedna cyfra albo powtarzają się dwie:
\({3\choose1}\cdot{4\choose2}\cdot2\cdot1+{3\choose2}\cdot{4\choose2}\cdot{2\choose2}\)
bo wybieram powtarzające się, pozycje dla nich i uzupełniam pozostałe pozycje

Pozdrawiam