Etrapez - rozmieszczenie w pociągu

[profifeusz]

Do wagonu pociągu, w którym jest dziesięć pustych ośmioosobowych przedziałów, wsiadło
ośmiu pasażerów. Na ile sposobów pasażerowie mogą rozsiąść się w przedziałach tak, aby
zajęli dokładnie trzy przedziały?

Według odpowiedzi jest: 786960, co odpowiadałoby: \( {10\choose 3} (3^8 - 3) \)

Czy jest to poprawna odpowiedź? Wydaje mi się, że zamiast tego powinno być: \( {10\choose 3} (3^8 - (3 \cdot 2^8) ) \)
pierwsza 3 oznaczałaby by wybór jednego pustego przedziału z wybranych trzech, a następnie \( 2^8 \) wybór ośmiu osób (uwzględniałoby to także sytuację, w której osiem osób pójdzie do tylko jednego przedziału i dwa pozostaną puste)

[kerajs]

Skoro w każdym przedziale miejsca są rozróżnialne, a i pasażerowie są rozróżnialni to liczyłbym tak:
\( { 10\choose 3} \left( { 24\choose 8} \cdot 8!- { 3\choose 2} { 16\choose 8} \cdot 8! +{ 3\choose 1} { 8\choose 8} \cdot 8! \right) \)

[panb]

Do wagonu pociągu, w którym jest dziesięć pustych ośmioosobowych przedziałów, wsiadło
ośmiu pasażerów. Na ile sposobów pasażerowie mogą rozsiąść się w przedziałach tak, aby
zajęli dokładnie trzy przedziały?

Według odpowiedzi jest: 786960, co odpowiadałoby: \( {10\choose 3} (3^8 - 3) \)

\({10\choose 3}\) - wybieramy, które 3 wagony zasiedlamy
\(3^8\) - wszystkich możliwych rozmieszczeń
\({3\choose2}\cdot2^8=3\cdot2^8\) - ilość przypadków, gdy wsiadają tylko do 2 z tych trzech
\({3\choose1}=3\) - ilość możliwości, gdy wszyscy do jednego z tych trzech wsiedli

Wtedy by było: \[{10\choose3} \left(3^8-3\cdot2^8-3 \right) =694\,800\]

[kerajs]

\({10\choose 3}\) - wybieramy, które 3 wagony zasiedlamy
\(3^8\) - wszystkich możliwych rozmieszczeń
\({3\choose2}\cdot2^8=3\cdot2^8\) - ilość przypadków, gdy wsiadają tylko do 2 z tych trzech
\({3\choose1}=3\) - ilość możliwości, gdy wszyscy do jednego z tych trzech wsiedli

Wtedy by było: \[{10\choose3} \left(3^8-3\cdot2^8-3 \right) =694\,800\]

Raczej \[{10\choose3} \left(3^8-3\cdot2^8+3 \cdot 1^8 \right) =...\] co jest liczbą wyboru trzech niepustych przedziałów przez 8 rozróżnialnych pasażerów..
Jednak moim zdaniem treść zadnia:

Na ile sposobów pasażerowie mogą rozsiąść się w przedziałach

wymusza także uwzględnianie wyboru przez pasażerów miejsc w przedziałach.

[zalevsqy]

Odpowiedź: Poprawnym rozwiązaniem zadania jest:
\({10\choose 3}\) -ilość sposobów na jakie można wybrać 3 z 10 przedziałów, następnie
\(3^8\) - wszystkich możliwych rozmieszczeń pasażerów w 3 przedziałach, z tym, że ta liczba uwzględnia również, przypadki gdy wszyscy pasażerowie zostali umiejscowieni w 2 lub w 1 wagonie, dlatego od tej liczby należy odjąć liczbę tych przypadków
\({3\choose 2}\) -liczba sposobów na jakie możemy wybrać 2 z 3 przedziałów, wartość tą musimy pomnożyć jeszcze przez \(2^8\) ponieważ każda osoba może wybrać jeden z 2 przedziałów, ALE! tego nikt nie zauważa na forach online w tym zadaniu, liczba \({3\choose 2}*2^8\) zawiera też dwa przypadki, gdy wszyscy pasażerowie wybrali jeden przedział! Czyli sposób rozmieszczenia pasażerów w tylko DWÓCH przedziałach to \( { 3\choose2 }*(2^8-2) \)
\( {3\choose1}*1^8\) - gdy wszyscy pasażerowie wsiedli do jednego przedziału
co daje nam:
\( {10\choose3}(3^8- {3\choose2}*(2^8-2)-{3\choose1}*1^8)= \)
\(120*(6561-3*254-3)=\)
\(120*5796=695520\)

[zalevsqy]

Odpowiedź: Poprawnym rozwiązaniem zadania jest:
\({10\choose 3}\) -ilość sposobów na jakie można wybrać 3 z 10 przedziałów, następnie
\(3^8\) - wszystkich możliwych rozmieszczeń pasażerów w 3 przedziałach, z tym, że ta liczba uwzględnia również, przypadki gdy wszyscy pasażerowie zostali umiejscowieni w 2 lub w 1 wagonie, dlatego od tej liczby należy odjąć liczbę tych przypadków
\({3\choose 2}\) -liczba sposobów na jakie możemy wybrać 2 z 3 przedziałów, wartość tą musimy pomnożyć jeszcze przez \(2^8\) ponieważ każda osoba może wybrać jeden z 2 przedziałów, ALE! tego nikt nie zauważa na forach online w tym zadaniu, liczba \(2^8\) zawiera też dwa przypadki, gdy wszyscy pasażerowie wybrali jeden przedział! Czyli sposób rozmieszczenia pasażerów w tylko DWÓCH przedziałach to \( { 3\choose2 }*(2^8-2) \)
\( {3\choose1}*1^8\) - gdy wszyscy pasażerowie wsiedli do jednego przedziału
co daje nam:
\( {10\choose3}(3^8- {3\choose2}*(2^8-2)-{3\choose1}*1^8)= \)
\(120*(6561-3*254-3)=\)
\(120*5796=695520\)

[kerajs]

Istotnie, ten wynik był już tu:

(...) \[{10\choose3} \left(3^8-3\cdot2^8+3 \cdot 1^8 \right) =...\] co jest liczbą wyboru trzech niepustych przedziałów przez 8 rozróżnialnych pasażerów..

A co z wątpliwością zawartą w tym samym poscie:

Jednak moim zdaniem treść zadnia:

Na ile sposobów pasażerowie mogą rozsiąść się w przedziałach

wymusza także uwzględnianie wyboru przez pasażerów miejsc w przedziałach.