Urny A1, A2, A3 .

[Januszgolenia]

W każdej z dwu urn A1 znajdują się 2 kule białe i 8 kul czarnych, w każdej z 7 urn typu A2 znajduje się 6 kul białych i 4 czarne, a w 1 urnie typu A3 znajduje się 9 kul białych i 1 czarna.
a) Sięgamy losowo do jednej z urn i wyciągamy kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wyciągniemy kulę białą. (Odp. 0,55)
b) Pobieramy losowo 3 kule ze zwracaniem. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że co najmniej jedna kula będzie czarna. (Odp. 0,83)
c) Ile razy należy losować kulę ze zwracaniem, aby z prawdopodobieństwem 0,95 można było stwierdzić, że nie otrzymamy wszystkich kul białych. (Odp. 5)

[eresh]

W każdej z dwu urn A1 znajdują się 2 kule białe i 8 kul czarnych, w każdej z 7 urn typu A2 znajduje się 6 kul białych i 4 czarne, a w 1 urnie typu A3 znajduje się 9 kul białych i 1 czarna.
a) Sięgamy losowo do jednej z urn i wyciągamy kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wyciągniemy kulę białą. (Odp. 0,55)

\(P(A)=\frac{2}{10}\cdot\frac{2}{10}+\frac{7}{10}\cdot \frac{6}{10}+\frac{1}{10}\cdot\frac{9}{10}=0,55\)

[eresh]

W każdej z dwu urn A1 znajdują się 2 kule białe i 8 kul czarnych, w każdej z 7 urn typu A2 znajduje się 6 kul białych i 4 czarne, a w 1 urnie typu A3 znajduje się 9 kul białych i 1 czarna.
b) Pobieramy losowo 3 kule ze zwracaniem. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że co najmniej jedna kula będzie czarna. (Odp. 0,83)

\(A\) - co najmniej jedna będzie czarna
\(A'\) - wszystkie będą białe
\(P(A')=\frac{55^3}{100^3}=\frac{1331}{8000}\\
P(A)=1-P(A')\\
P(A)=\frac{6669}{8000}\)

[janusz55]

Doświadczenie losowe opisane w treści zadania polega na

- losowaniu urny należącej do jednego z trzech typów urn: \( A_{1}, A_{2}, A_{3} \) - etap pierwszy;

- losowaniu kuli z urny wylosowanej w etapie pierwszym - etap drugi.

Zakładamy, że wszystkie losowania typów urn i kul każdego typu są jednakowo możliwe.

Etap pierwszy

\( \Omega_{1} = \{A_{1}, A_{2}, A_{3} \};\)

\( P(A_{1}) = \frac{2}{10}, \ \ P(A_{2}) = \frac{7}{10}, \ \ P(A_{3}) = \frac{1}{10}. \)

Etap drugi

Z etapem drugim związane są trzy modele (przestrzenie) probabilistyczne, bo losujemy kulę z urny należącej do jednego z trzech typów urn.

\( \{ \Omega_{2|1}, P_{2|1} \}, \ \ \{ \Omega_{2|2},\ \ P_{2|2} \}, \ \ \{ \Omega_{2|3},\ \ P_{2|3} \}\),

gdzie

\( \Omega_{2|1} = \{ b, b, c, c, c, c, c, c, c, c \}, \ \ \Omega_{2|2} = \{ b, b, b, b, b, b, c, c, c, c \}, \ \ \Omega_{2|3} = \{ b, b, b, b, b, b, b, b, b, c \} \)

Rozkłady prawdopodobieństwa na zbiorach \( \Omega_{2|1}, \ \ \Omega_{2|2}, \ \ \Omega_{2|3} \)

\( P_{2|1}(b) = \frac{2}{10}, \ \ P_{2|1}(c) = \frac{8}{10}, \ \ P_{2|2}(b) = \frac{6}{10}, \ \ P_{2|2}(c) = \frac{4}{10} , \ \ P_{2|3}(b) = \frac{9}{10}, \ \ P_{2|3}(c) = \frac{1}{10} .\)

a)

\( A \) - zdarzenie " wylosowanie kuli białej "

\( P(A) = P(A_{1})\cdot P_{2|1}(b) + P(A_{2})\cdot P_{2|2}(b) + P(A_{3})\cdot P_{2|3}(b) \)

\( P(A) = \frac{2}{10}\cdot \frac{2}{10} + \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{10} + \frac{1}{10}\cdot \frac{9}{10} = \frac{55}{100} \)

Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa

Realizując doświadczenie losowe możemy oczekiwać, że w \( 55\% \) ogólnej liczby jego wyników, otrzymamy kulę białą.

[janusz55]

c)
Średnia liczba losowań w schemacie Bernoullego

\( n\cdot \overline{P}(B) = 0,95 \)

\( n \cdot (1 -0,83) = 0,95 \)

\( n\cdot 0,17 = 0.95 \)

\( n = \frac{0,95}{0,17} = \lfloor 5,47 \rfloor = 5. \)