rachunek prawdopodobieńswa

[Mikson1205]

Czy ktoś mógłby pomóc mi rozwiązać dalej to zadanie?

Niech X będzie zmienną losową z CDF równym:

\(F(t)=\begin{cases}
0&\text{dla }x < 17\\
\frac{t-17}{3}&\text{dla }17\le t < 18\\
1&\text{dla }t\ge 18\\
\end{cases}\)

Oblicz wariancję zmiennej 33X + 3

Udało mi się obliczyć EX i wyszła mi ona \(6 \frac{1}{6}\) , ale nie wiem czy jest to dobrze. Nie wiem co dalej zrobić.

[panb]

Trzeba najpierw policzyć funkcje gęstości prawdopodobieństwa. Jest ona pochodną CDF, ale po scałkowaniu jej powinno wyjść 1.
\(f(x)= \begin{cases} 0&\text{dla}&x<17\\ \frac{1}{3}&\text{dla}& 17\le x < 18\\ \frac{2}{3}&\text{dla} & x=18 \\0&\text{dla} &x>18\end{cases} \)
Wtedy \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,{dx}= \frac{2}{3}+ \int_{17}^{18} \frac{{dx}}{3} =\frac{2}{3}+ \frac{1}{3}=1 \)
\[EX= \int_{17}^{18} \frac{1}{3}x\, {dx} + \frac{2}{3}\cdot18= \frac{35}{6}+12= \frac{107}{6} \]

[panb]

Trzeba najpierw policzyć funkcje gęstości prawdopodobieństwa. Jest ona pochodną CDF, ale po scałkowaniu jej powinno wyjść 1.
\(f(x)= \begin{cases} 0&\text{dla}&x<17\\ \frac{1}{3}&\text{dla}& 17\le x < 18\\ \frac{2}{3}&\text{dla} & x=18 \\0&\text{dla} &x>18\end{cases} \)
Wtedy \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,{dx}= \frac{2}{3}+ \int_{17}^{18} \frac{{dx}}{3} =\frac{2}{3}+ \frac{1}{3}=1 \)
\[EX= \int_{17}^{18} \frac{1}{3}x\, {dx} + \frac{2}{3}\cdot18= \frac{35}{6}+12= \frac{107}{6} \]

Teraz trzeba policzyć \(\displaystyle E(X^2)=18^2\cdot \frac{2}{3}+ \int_{17}^{18} \frac{x^2}{3}\,{dx}= \frac{2863}{9} \), a potem \[D^2(X)=E(X^2)-(EX)^2=\frac{2863}{9} - \left( \frac{107}{6}\right)^2= \frac{1}{12} \]

[panb]

Trzeba najpierw policzyć funkcje gęstości prawdopodobieństwa. Jest ona pochodną CDF, ale po scałkowaniu jej powinno wyjść 1.
\(f(x)= \begin{cases} 0&\text{dla}&x<17\\ \frac{1}{3}&\text{dla}& 17\le x < 18\\ \frac{2}{3}&\text{dla} & x=18 \\0&\text{dla} &x>18\end{cases} \)
Wtedy \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,{dx}= \frac{2}{3}+ \int_{17}^{18} \frac{{dx}}{3} =\frac{2}{3}+ \frac{1}{3}=1 \)
\[EX= \int_{17}^{18} \frac{1}{3}x\, {dx} + \frac{2}{3}\cdot18= \frac{35}{6}+12= \frac{107}{6} \]

Teraz trzeba policzyć \(\displaystyle E(X^2)=18^2\cdot \frac{2}{3}+ \int_{17}^{18} \frac{x^2}{3}\,{dx}= \frac{2863}{9} \), a potem \[D^2(X)=E(X^2)-(EX)^2=\frac{2863}{9} - \left( \frac{107}{6}\right)^2= \frac{1}{12} \]

Teraz można podać

Odpowiedź: \(D^2(33X+3)=33^2D^2(X)= \frac{363}{4} \)

[panb]

Dla CDF postaci \( F(t)=\begin{cases} 0&\text{dla}&t<m\\ \frac{t-m}{n}&\text{dla}&m \le t < m+1\\ 1&\text{dla}& t \ge m+1\end{cases} \) funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma postać
\[f(x)=\begin{cases} 0&\text{dla}& x<m\\ \frac{1}{n}&\text{dla}& m\le x <m+1 \\1- \frac{1}{n}&\text{dla}&x=m+1\\0&\text{dla}&x>m+1 \end{cases} \]

Dalej można liczyć tak jak powyżej. \(D^2(kX+n)=k^2D^2(X)\)

[Mikson1205]

nie rozumiem skąd jęst wzięły ułamki \frac{1}{3} i \frac{2}{3} na samym początku :/

[panb]

Ani razu nie kliknąłeś kciuka w górę, żeby podziękować za rozwiązanie.
Jesteś nowy, więc nie mam właściwie pretensji, ale to zniechęcające.

Funkcja gęstości to pochodna CDF.
\( \left( \frac{t-17}{3} \right)'= \frac{1}{3} \) - stąd \( \frac{1}{3} \)
Jak wspomniałem funkcja \(f(x)=F'(x)= \begin{cases}0&\text{dla}& x<17\\ \frac{1}{3}&\text{dla}&17\le x <18\\0&\text{dla}&x\ge 18 \end{cases} \) nie jest funkcją gęstości, bo
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\, {dx}= \frac{1}{3} \), a powinno być 1.
Nie wchodząc w szczegóły, dokładamy brakujące \(\frac{2}{3} \) dla x=18.
Uff, czy to jasne już się stało?

[Mikson1205]

Tak już jest to jasne Dziękuję bardzo i przepraszam że wczoraj nie dałem kciuków w górę, ale po prostu poszedłem spać. Pod poprzednimi postami dawałem kciuki Już dałem kciuki i jeszcze raz dziękuję za wyjaśnienie zadania