Pomoc z rozkładem normalnym

[KacperFox2k]

Zad2. Objętość 1 opakowania ziemi ogrodniczej wynosi średnio 30 litrów i ma rozkład normalny o odchyleniu
standardowym 3 litry.
a) Ile średnio na 100 opakowań, będzie miało objętość mniejszą od 28 litrów?
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że objętość w losowo wybranym opakowaniu będzie w granicach od 25 do 31 l?
c) Wyznaczyć objętość, którą ma co najmniej 95% opakowań.

Jak to rozwiązać?

[panb]

Zad2. Objętość 1 opakowania ziemi ogrodniczej wynosi średnio 30 litrów i ma rozkład normalny o odchyleniu
standardowym 3 litry.
a) Ile średnio na 100 opakowań, będzie miało objętość mniejszą od 28 litrów?
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że objętość w losowo wybranym opakowaniu będzie w granicach od 25 do 31 l?
c) Wyznaczyć objętość, którą ma co najmniej 95% opakowań.

Jak to rozwiązać?

Niech X będzie zmienną losową o wartościach będących objętością opakowania ziemi ogrodniczej. \(X\sim N(30,3)\).
Niech U oznacza zmienną losową o rozkładzie normalnym N(0,1), a \(\,\, \Phi(u)=P(U\le u)\) niech będzie stablicowaną tutaj dystrybuantą tego rozkładu.

1. \(P(X<28)=P \left( \frac{X-30}{3} < \frac{28-30}{3} \right)=P(U<-0,67)=\Phi(-0,67)=1-\Phi(0,67)=1-0,7486\approx 0,25 \)

   Odpowiedź: Na 100 opakowań średnio 25 będzie miało objętość mniejszą od 28 litrów.

2. \(P(25\le X \le 31)=P \left( \frac{25-30}{3} \le \frac{X-30}{3} \le \frac{31-30}{3} \right) =P(-1,67\le U \le 0,33)=\\=\Phi(0,33)-\Phi(-1,67)=\Phi(0,33)-1+\Phi(1,67)=0,6293+0,95254-1\approx 0,58\)

[panb]

Zad2. Objętość 1 opakowania ziemi ogrodniczej wynosi średnio 30 litrów i ma rozkład normalny o odchyleniu
standardowym 3 litry.
c) Wyznaczyć objętość, którą ma co najmniej 95% opakowań.
Jak to rozwiązać?

\(P(X\le x)\ge 0,95 \iff P \left( \frac{X-30}{3} \le \frac{x-30}{3} \right) \ge 0,95 \iff P\left(U\le \frac{x-30}{3}\right)\ge 0,95 \iff \Phi \left( \frac{x-30}{3}\right) \ge 0,95\)
W tablicach znajdujemy że \(\Phi (u)\ge 0,95 \text{ dla } u\ge 1,65\). Wobec tego
\( \frac{x-30}{3}\ge 1,65 \iff x\ge 34,95\)

Odpowiedź: Co najmniej 95% opakowań ma objętość nie mniejszą niż 35l

[KacperFox2k]

Zad2. Objętość 1 opakowania ziemi ogrodniczej wynosi średnio 30 litrów i ma rozkład normalny o odchyleniu
standardowym 3 litry.
c) Wyznaczyć objętość, którą ma co najmniej 95% opakowań.
Jak to rozwiązać?

\(P(X\le x)\ge 0,95 \iff P \left( \frac{X-30}{3} \le \frac{x-30}{3} \right) \ge 0,95 \iff P\left(U\le \frac{x-30}{3}\right)\ge 0,95 \iff \Phi \left( \frac{x-30}{3}\right) \ge 0,95\)
W tablicach znajdujemy że \(\Phi (u)\ge 0,95 \text{ dla } u\ge 1,65\). Wobec tego
\( \frac{x-30}{3}\ge 1,65 \iff x\ge 34,95\)

Odpowiedź: Co najmniej 95% opakowań ma objętość nie mniejszą niż 35l

Bardzo dziękuję za szybką odpowiedź, już rozumiem!