Wariancja

[moonsu]

\(p=\frac{1}{4}\) to prawdpodobieństwo z jakim strzela początkujący snajper. Zmienna X to ilość strzałów poprzedzających trafienie. Policzyć wartość oczekiwaną i wariancję.

Wiem, że rozkład losowej musi być:
\(P(X=k)=(1-p)^{k}*p, \ dla \ k=0,1,2,...\)
Bo zaczynamy od
\(P(X=0)=\frac{1}{4}\)
W internecie są tylko wzory dla przypadków gdzie zaczyna się od 1, więc jak policzyć wariancje i oczekiwaną?

[panb]

Nie przejmuj się k=0. Przecież
\(\displaystyle EX= \sum_{k=0}^{\infty}kp(1-p)^k= \sum_{k=1}^{\infty}kp(1-p)^k= \frac{1-p}{p} \)

[panb]

Ponieważ doceniasz rozwiązania, jako bonus pokaże, jak policzyć
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}kp(1-p)^k= p \cdot \sum_{k=0}^{\infty}k(1-p)^k\), więc trzeba się zająć
\[\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}k(1-p)^k=-(1-p)\sum_{k=0}^{\infty}-k(1-p)^{k-1}=-(1-p) \left[ -0-1-2(1-p)-3(1-p)^2-\ldots\right] =\\=
-(1-p) \left[(-1)'+(1-p)'+((1-p)^2)'+((1-p)^3)'+\ldots \right] =-(1-p) \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \left[ (1-p)^k\right]' \]

Ponieważ \(0 \le p \le 1\), więc ten ostatni szereg jest zbieżnym szeregiem geometrycznym i
\[\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}k(1-p)^k =-(1-p) \left[ \frac{1}{1-(1-p)} \right]' =-(1-p) \cdot \frac{-1}{p^2}= \frac{1-p}{p^2} \]
Teraz wracamy do wartości oczekiwanej
\[\displaystyle EX= \sum_{k=0}^{\infty}kp(1-p)^k=p \cdot \frac{1-p}{p^2}= \frac{1-p}{p} \]