Wariancja

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
moonsu
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 13
Rejestracja: 31 mar 2020, 21:01
Podziękowania: 12 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Wariancja

Post autor: moonsu »

\(p=\frac{1}{4}\) to prawdpodobieństwo z jakim strzela początkujący snajper. Zmienna X to ilość strzałów poprzedzających trafienie. Policzyć wartość oczekiwaną i wariancję.

Wiem, że rozkład losowej musi być:
\(P(X=k)=(1-p)^{k}*p, \ dla \ k=0,1,2,...\)
Bo zaczynamy od
\(P(X=0)=\frac{1}{4}\)
W internecie są tylko wzory dla przypadków gdzie zaczyna się od 1, więc jak policzyć wariancje i oczekiwaną?
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Wariancja

Post autor: panb »

Nie przejmuj się k=0. Przecież
\(\displaystyle EX= \sum_{k=0}^{\infty}kp(1-p)^k= \sum_{k=1}^{\infty}kp(1-p)^k= \frac{1-p}{p} \)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Wariancja

Post autor: panb »

Ponieważ doceniasz rozwiązania, jako bonus pokaże, jak policzyć
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}kp(1-p)^k= p \cdot \sum_{k=0}^{\infty}k(1-p)^k\), więc trzeba się zająć
\[\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}k(1-p)^k=-(1-p)\sum_{k=0}^{\infty}-k(1-p)^{k-1}=-(1-p) \left[ -0-1-2(1-p)-3(1-p)^2-\ldots\right] =\\=
-(1-p) \left[(-1)'+(1-p)'+((1-p)^2)'+((1-p)^3)'+\ldots \right] =-(1-p) \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \left[ (1-p)^k\right]' \]


Ponieważ \(0 \le p \le 1\), więc ten ostatni szereg jest zbieżnym szeregiem geometrycznym i
\[\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}k(1-p)^k =-(1-p) \left[ \frac{1}{1-(1-p)} \right]' =-(1-p) \cdot \frac{-1}{p^2}= \frac{1-p}{p^2} \]
Teraz wracamy do wartości oczekiwanej
\[\displaystyle EX= \sum_{k=0}^{\infty}kp(1-p)^k=p \cdot \frac{1-p}{p^2}= \frac{1-p}{p} \]
ODPOWIEDZ