Obliczenie prawdopodobieństwa- 1 zadanie

[paskulina7]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania:
Zanim produkt zostanie wprowadzony na rynek przeprowadza się testy na wybranej grupie konsumentów. Wiadomo, ze test zapowiada sukces w 75% przypadków, w których sukces rzeczywiście następuje oraz 15% przypadków, gdy sukcesu rynkowego nie ma. Poprzednie doświadczenia z podobnymi produktami pozwalają przejąć, że produkty osiągają sukces na rynku w 60% przypadków. Jeżeli test zapowiada sukces produktu, jakie jest prawdopodobieństwo,że wprowadzenie produktu na rynek rzeczywiście zakończy się sukcesem?

[Sciurius]

Pierwsza rzecz to to jak działa test. Jeśli dobrze zrozumiałem to działa on tak:
jeżeli produkt odniesie sukces to w 75% przypadków nasz test zapowie sukces
jeżeli produkt nie odniesie sukcesu to w 15% przypadków nasz test pokaże tzw. false positive czyli zapowie sukces.

Oznaczmy:
A- zdarzenie polegające na tym że nasz produkt odniesie sukces
X-zdarzenie polegające na tym że test zapowie sukces

Szukamy: \(P(A|X)\)

\(P(A) = 6/10\)
\(P(A') = 4/10\)
\(P(X|A) = 3/4\)
\(P(X|A') = 3/20\)
\(P(X) = P(X|A)*P(A) + P(X|A')*P(A') = 9/20 + 3/50 = 51/100\)

Korzystając z wzoru Bayesa:

\(P(A|X) = P(X|A) * P(A) / P(X) = 9/20 * 6/10 / 51/100 = 3/4 * 6/10 * 100/51 = 9 * 5 / 51 = 15/17 \)

Odp. \(P(A|X) = 15/17\)