Ile jest liczb całkowitych z przedziału

[LuckyLuck]

Ile jest liczb całkowitych z przedziału \([ 1, 1500]\)
podzielnych przez \(3, 5 \), i \(7\)

[grdv10]

Temat zadania podajesz nieprecyzyjnie. Czy chodzi o liczby podzielne przez wszystkie trzy liczby, czyli równoważnie przez \(105\), czy też przez przynajmniej jedną z nich?

Jako część rozwiązania pokażę Ci, ile jest liczb podzielnych przez - dajmy na to - \(11\). Niech \(a_1=11\). Ostatnia liczba to \(a_n=1496\). Liczby podzielne przez \(11\) stanowią ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=11\). Dlatego \(a_n=a_1+(n-1)r\), czyli \(1496=11+11(n-1)\), skąd \(n=136\) i tyle też mamy liczb podzielnych przez \(11\) w naszym zakresie.

A teraz prościej. W zakresie od \(1\) do \(10\) masz \(5\) liczb parzystych i \(3\) liczby podzielne przez \(3\). Liczba podzielnych przez obie (czyli przez \(6\)) jest jedna. Tak więc liczb podzielnych przez co najmniej jedną z liczb \(2,3\) jest \(5+3-1=7\). Istotnie, są nimi \(2,3,4,6,8,9,10\). Korzystamy tu ze wzoru na moc sumy dwóch zbiorów: \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.\)

Teraz w kontekście Twojego zadania pomyśl o zasadzie włączeń i wyłączeń związanej ze wzorem na moc sumy więcej niż dwóch zbiorów (będziesz miał trzy zbiory).

[kerajs]

Jako część rozwiązania pokażę Ci, ile jest liczb podzielnych przez = dajmy na to - \(11\). Niech \(a_1=11\). Ostatnia liczba to \(a_n=1496\). Liczby podzielne przez \(11\) stanowią ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=11\). Dlatego \(a_n=a_1+(n-1)r\), czyli \(1496=11+11(n-1)\), skąd \(n=136\) i tyle też mamy liczb podzielnych przez \(11\) w naszym zakresie.

Albo tak:
\(\lfloor \frac{1500}{11} \rfloor = \lfloor 136+\frac{4}{11} \rfloor =136\)