Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(110;12.6).
Wyznacz wartości xi spełniające warunki:
a) P(X<x1)= 0.03012
b) P(X>x2)= 0.65719
Zmienna losowa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Zmienna losowa
Tu zrobię Ci zadanie b). Oczywiście moja wskazówka pozostaje aktualna.
Zmienna losowa \(U=\dfrac{X-110}{12{,}6}\) ma rozkład \(N(0,1).\) Nierówność \(X>x_2\) jest w trywialny sposób równoważna nierówności \(\dfrac{X-110}{12{,}6}>\dfrac{x_2-110}{12{,}6}\). Niech \(u_2=\dfrac{x_2-110}{12{,}6}\), żeby się krócej pisało. Czyli mamy dane prawdopodobieństwo \(P(X>x_2)=P(U>u_2)= 0{,}65719.\) Ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego jest \(0{,}65719=P(U>u_2)=1-P(U\leqslant u_2)=1-\Phi(u_2)\), więc \(\Phi(u_2)=1-0{,}65719=0{,}34281.\) Oczywiście \(\Phi\) oznacza dystrybuantę rozkładu \(N(0,1)\), czyli \(\Phi(u)=P(U\leqslant u).\) Jest ona stablicowana, jej wartości podaje też arkusz kalkulacyjny (=ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(0,34281)). Więc odczytujemy, że \(0{,}34281=\Phi(-0{,}4048062).\) Dlatego \(u_2=-0{,}4048062\), czyli \(\dfrac{x_2-110}{12{,}6}=-0{,}4048062\), skąd obliczamy \(x_2=-0{,}4048062\cdot 12{,}6+110=104{,}8994\).
Zadanie a) robimy analogicznie, ale masz tam już bezpośrednio dystrybuantę. Odp. a) \(x_1=86{,}3241853604286\) (wzięta z arkusza, zob. poniższą uwagę).
Uwaga. Mając do dyspozycji arkusz, nie trzeba w ogóle dokonywać standaryzacji, czyli sprowadzać do zmiennej losowej o rozkładzie \(N(0,1).\) Wystarczy wywołać funkcję =ROZKŁAD.NORMALNY.ODW(0,34281;110;12,6), która zwróci \(x2=104{,}899442375982.\) Zapewne jednak wymaganiem ćwiczeniowca jest dokonanie standaryzacji tak jak to pokazałem.
Zmienna losowa \(U=\dfrac{X-110}{12{,}6}\) ma rozkład \(N(0,1).\) Nierówność \(X>x_2\) jest w trywialny sposób równoważna nierówności \(\dfrac{X-110}{12{,}6}>\dfrac{x_2-110}{12{,}6}\). Niech \(u_2=\dfrac{x_2-110}{12{,}6}\), żeby się krócej pisało. Czyli mamy dane prawdopodobieństwo \(P(X>x_2)=P(U>u_2)= 0{,}65719.\) Ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego jest \(0{,}65719=P(U>u_2)=1-P(U\leqslant u_2)=1-\Phi(u_2)\), więc \(\Phi(u_2)=1-0{,}65719=0{,}34281.\) Oczywiście \(\Phi\) oznacza dystrybuantę rozkładu \(N(0,1)\), czyli \(\Phi(u)=P(U\leqslant u).\) Jest ona stablicowana, jej wartości podaje też arkusz kalkulacyjny (=ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(0,34281)). Więc odczytujemy, że \(0{,}34281=\Phi(-0{,}4048062).\) Dlatego \(u_2=-0{,}4048062\), czyli \(\dfrac{x_2-110}{12{,}6}=-0{,}4048062\), skąd obliczamy \(x_2=-0{,}4048062\cdot 12{,}6+110=104{,}8994\).
Zadanie a) robimy analogicznie, ale masz tam już bezpośrednio dystrybuantę. Odp. a) \(x_1=86{,}3241853604286\) (wzięta z arkusza, zob. poniższą uwagę).
Uwaga. Mając do dyspozycji arkusz, nie trzeba w ogóle dokonywać standaryzacji, czyli sprowadzać do zmiennej losowej o rozkładzie \(N(0,1).\) Wystarczy wywołać funkcję =ROZKŁAD.NORMALNY.ODW(0,34281;110;12,6), która zwróci \(x2=104{,}899442375982.\) Zapewne jednak wymaganiem ćwiczeniowca jest dokonanie standaryzacji tak jak to pokazałem.