Zmienna losowa

[Klaudia23]

Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(150;12.9).
Wyznacz wartości xi spełniające warunki:
a) P(X<x1)= 0.0989
b) P(X>x2)= 0.8705

[panb]

Zrobię b). Podpunkt a) spróbuj samodzielnie.
No i pamiętaj: Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij

Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(150;12.9).
Wyznacz wartości xi spełniające warunki:
b) P(X>x2)= 0.8705

\(P(X>x_2)=1-P(X\le x_2)=1-F(x_2)\), gdzie F jest dystrybuantą rozkładu zmiennej X
Gdyby nasza zmienna miała rozkład N(0,1), to w tablicach znaleźlibyśmy wartość 0,8705 (albo bliską jej) i odczytalibyśmy dla jakiego iksa jest ta wartość. Oto fragment tablic dostępny w Wikipedii
\( \begin{vmatrix}\text{Wartość zmiennej} &&\text{Gęstość prawdopodobieństwa} && \text{Dystrybuanta}\\-1,131131&& 0,2104163 &&0,129 \\-1,13 &&0,2106856 && 0,1292381\\-1,126391&& 0,2115451 && 0,13 \end{vmatrix} \)

Tak, ale ... nasza zmienna nie ma rozkładu N(0,1). Można ja jednak "znormalizować".

\(P(X\le x_2)=P \left( \frac{X-150}{12,9}\le \frac{x_2-150}{12,9} \right) \), a zmienna \( \frac{X-150}{12,9}\) ma już rozkład N(0,1).

Wracamy do zadania:
\(P(X>x_2)=1-P(X \le x_2)=0,8705 \So P(X \le x_2)=1-0,8705=0,1295=P \left( \frac{X-150}{12,9}\le \frac{x_2-150}{12,9} \right)\)

Widać, że dla x=-1,13 wartość dystrybuanty (!) jest bliska 0,1295, wobec tego
\[ \frac{x_2-150}{12,9}=-1,13 \So x_2=135,423\approx 135 \]