Zadania - Prawdopodobieństwo Część II

[9019bartmann]

6. Czas życia owada ma rozkład wykładniczy o średniej 15. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrany owad będzie żył dłużej niż 12.

7. Prawdopodobieństwo trafienia na loterii wynosi 0,2. Kupiono 5 losów, jakie jest prawdopodobieństwo na co najmniej 3 wygrane.

8. Prawdopodobieństwo trafienia na loterii wynosi 0,03. Kupiono 100 losów. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba wygranych? A jakie jest prawdopodobieństwo od 2 do 5 wygranych?

9. Czas oczekiwania na metro jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym określonym na przedziale <0,5>. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będziemy czekać na metro krócej niż 2 minuty, jeżeli wiemy, że czekaliśmy krócej niż 3 minuty.

10. Oblicz:
\(E(2X-4Y+5Z-6) \text{ i } D^2(2X-4Y+5Z-6), \text"gdy EX=3, D^2X=1, EY=7, EY^2=53, EZ^2=16, D^2Z=12\)

11. Oblicz:
P(X<1) P(X>3), EX, odchylenie standardowe o dystrybuantę gdy:
\(\begin{bmatrix}X_i & -3 & {-1} & {0} & {1} & {3} & {4}\\P_i & 3/17 & 2/17 & 5/17 & 2/17 & 1/17 & c/17 \end{bmatrix}\)

[panb]

ad 6
\(P(T\le x)=1-e^{-\lambda x}\), gdzie \(\lambda= \frac{1}{15}\)

\(P(T>12)=1-P(T\le 12)=1- \left(1-e^{- \frac{12}{15} } \right) =e^{-0,8}\approx 0,45\)


ad 7
\(p=0,2, \,\,\,q=1-p=0,8 \\ P_5(X=k)={5\choose k}p^kq^{n-k}\)
Prawdopodobieństwo na co najmniej 3 wygrane losy

• \(p=P_5(X=3)+P_5(X=4)+P_5(X=5)=0,51872\approx 0,52\)

[panb]

ad 8
Najbardziej prawdopodobna liczba wygrywających losów, wśród tych 100 kupionych, to \(\lambda=np=100\cdot 0,03=3\)
Przy małych p (p<0,1) i dużych n rozkład Bernoulli'ego (dwumianowy) przybliża się rozkładem Poissona. \[P(X=k)=e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}\] \(P(2\le X \le 5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=0,7168\approx 0,72\)
(skorzystałem z tablic)