Urna - białe i czarne kule - przekładanie

[cwaniaczek]

W trzech urnach znajdują białe i czarne kule. W pierwszej z nich sa dwie kule
białe i trzy czarne, w drugiej dwie białe i dwie czarne, a w trzeciej trzy białe i jedna
czarna. Przekładamy wylosowaną kulę z pierwszej urny do drugiej, a następnie losowo
wybraną kulę z drugiej urny do trzeciej. Wreszcie wybraną losowo kulę przekładamy
z urny trzeciej do pierwszej.
a. Jaki skład pierwszej urny jest najbardziej prawdopodobny?
b. Obliczyć prawdopodobieństwo, że skład wszystkich trzech urn pozostanie niezmieniony

[kerajs]

Zrób drzewko tych zdarzeń.
a)
\(P(1b,4c)= \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7}{50} \\
P(3b,2c)= \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{18}{50} \\
P(2b,3c)=1-P(1b,4c)-P(3b,2c) = \frac{25}{50}\)
b)
\(P=\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}= \frac{18}{50}\)

[cwaniaczek]

Nie rozumiem tylko dlaczego tam jest w mianowniku 4, za kazdym razem wydaje mi sie ze na 5 powinno być, bo dokładamy jedną kulę.

[kerajs]

Tak jest, gdyż źle przepisałem sobie skład ostatniej urny.

Powinno być:
a)
\(P(1b,4c)= \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{14}{125} \\
P(3b,2c)= \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{51}{125} \\
P(2b,3c)=1-P(1b,4c)-P(3b,2c) = \frac{60}{125}\)
b)
\(P=\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}= \frac{42}{125}\)